在静力学中，我们使用平衡方程求解物体系统的平衡问题。但对于具有复杂约束的系统，平衡方程的数目往往很多，求解十分繁琐。

虚位移原理（Principle of Virtual Displacement）是分析力学的基础，它从功的角度给出了质点系平衡的充要条件。对于受约束的系统，虚位移原理只需考虑主动力，自动消去了不做功的理想约束力，大大简化了问题的求解。

本章将介绍虚位移、理想约束的概念，推导虚位移原理，并讨论其应用。

约束（Constraint）：限制质点或质点系运动的条件。

约束方程：约束条件的数学表达式。

几何约束与运动约束：

• 几何约束：只限制位置，$f(x, y, z) = 0$
• 运动约束：限制速度，$f(x, y, z, \dot{x}, \dot{y}, \dot{z}) = 0$

定常约束与非定常约束：

• 定常约束：约束方程中不显含时间，$f(x, y, z) = 0$
• 非定常约束：约束方程显含时间，$f(x, y, z, t) = 0$

双面约束与单面约束：

• 双面约束：等式约束，如 $f = 0$
• 单面约束：不等式约束，如 $f \geq 0$

完整约束与非完整约束：

• 完整约束：几何约束或可积分的运动约束
• 非完整约束：不可积分的运动约束

实位移（Actual Displacement）：

• 质点在真实运动中发生的位移
• 由实际运动产生，$d\vec{r} = \vec{v}dt$
• 满足动力学方程和约束条件
• 需要经历时间 $dt$

虚位移（Virtual Displacement）：

• 质点在约束允许条件下可能发生的微小位移
• 假想的、非真实发生的位移
• 用 $\delta \vec{r}$ 表示（变分符号）
• 瞬时完成，$\delta t = 0$
• 只需满足约束条件

几何法：根据约束的几何性质确定虚位移之间的关系。

解析法：由约束方程变分求得。

若约束方程为 $f(x, y, z) = 0$，则： $$\delta f = \frac{\partial f}{\partial x}\delta x + \frac{\partial f}{\partial y}\delta y + \frac{\partial f}{\partial z}\delta z = 0$$

对于定常约束，实位移是虚位移中的一种（在特定运动状态下）。但对于非定常约束，实位移与虚位移不同。

力 $\vec{F}$ 在虚位移 $\delta \vec{r}$ 上做的功称为虚功：

$$\delta W = \vec{F} \cdot \delta \vec{r}$$

定义：如果约束反力在任意虚位移中所做的虚功之和为零，则这种约束称为理想约束。

$$\sum \vec{F}_{Ni} \cdot \delta \vec{r}_i = 0$$

• 光滑接触面：法向约束力与虚位移垂直，不做功
• 光滑铰链：约束力作用点无位移，不做功
• 不可伸长的柔索：内力成对出现，做功之和为零
• 刚性杆连接：内力做功之和为零
• 纯滚动：静摩擦力不做功

虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所做的虚功之和为零。

$$\sum \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0$$

或用投影形式： $$\sum (F_{ix}\delta x_i + F_{iy}\delta y_i + F_{iz}\delta z_i) = 0$$

设质点系平衡，则每个质点： $$\vec{F}_i + \vec{F}_{Ni} = 0$$

两边点乘虚位移： $$(\vec{F}_i + \vec{F}_{Ni}) \cdot \delta \vec{r}_i = 0$$

对所有质点求和： $$\sum \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i + \sum \vec{F}_{Ni} \cdot \delta \vec{r}_i = 0$$

对于理想约束，第二项为零，故： $$\sum \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0$$

反证法：若虚功方程成立但系统不平衡，则质点将产生实位移，由于理想约束性质，可推出矛盾。

自由度：确定质点系位形所需的独立坐标数。

广义坐标：确定质点系位形的独立参数，记为 $q_1, q_2, \ldots, q_k$。

直角坐标可表示为广义坐标的函数： $$x_i = x_i(q_1, q_2, \ldots, q_k, t)$$

$$\delta x_i = \sum_{j=1}^{k} \frac{\partial x_i}{\partial q_j}\delta q_j$$

虚功： $$\delta W = \sum_{i} \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = \sum_{j=1}^{k} Q_j \delta q_j$$

其中广义力： $$Q_j = \sum_{i} \left(F_{ix}\frac{\partial x_i}{\partial q_j} + F_{iy}\frac{\partial y_i}{\partial q_j} + F_{iz}\frac{\partial z_i}{\partial q_j}\right)$$

$$\sum_{j=1}^{k} Q_j \delta q_j = 0$$

由于 $\delta q_j$ 相互独立，故： $$Q_j = 0, \quad j = 1, 2, \ldots, k$$

即：平衡的充要条件是所有广义力为零。

杠杆 $AB$ 在 $C$ 点铰支，$A$ 端受力 $F_1$，$B$ 端受力 $F_2$，$AC = a$，$BC = b$。用虚位移原理求平衡条件。

解答：

自由度：杠杆绕 $C$ 转动，自由度为 1。取转角 $\theta$ 为广义坐标。

虚位移： 设杠杆有虚转角 $\delta\theta$（顺时针为正）。

$A$ 点虚位移：$\delta r_A = a \delta\theta$（向下） $B$ 点虚位移：$\delta r_B = b \delta\theta$（向上）

虚功方程： $$\delta W = F_1 \cdot \delta r_A - F_2 \cdot \delta r_B = 0$$

（$F_1$ 向下，位移向下，做正功；$F_2$ 向下，位移向上，做负功）

$$F_1 \cdot a \delta\theta - F_2 \cdot b \delta\theta = 0$$

$$(F_1 a - F_2 b)\delta\theta = 0$$

由于 $\delta\theta \neq 0$： $$F_1 a = F_2 b$$

这就是杠杆平衡条件。

螺旋压榨机手柄长 $L$，螺距为 $h$，在手柄两端作用大小相等、方向相反的力 $F$（力偶）。求压榨力 $P$ 与 $F$ 的关系。

解答：

自由度：1（手柄转角 $\varphi$）

虚位移关系：

手柄转一周，螺杆下降 $h$。故虚转角 $\delta\varphi$ 对应虚位移： $$\delta s = \frac{h}{2\pi}\delta\varphi$$

虚功方程：

力偶的虚功：$M \cdot \delta\varphi = 2FL \cdot \delta\varphi$

压榨力的虚功（负功）：$-P \cdot \delta s = -P \cdot \frac{h}{2\pi}\delta\varphi$

$$2FL \cdot \delta\varphi - P \cdot \frac{h}{2\pi}\delta\varphi = 0$$

$$P = \frac{4\pi FL}{h}$$

机械利益： $$\frac{P}{F} = \frac{4\pi L}{h}$$

由于 $L \gg h$，可获得很大的压榨力。

双摆由杆 $OA$ 和 $AB$ 铰接而成，$OA = AB = L$，杆重不计，$A$、$B$ 处有集中质量 $m_1$、$m_2$。在水平力 $F$ 作用于 $B$ 点时系统平衡，求平衡位置。

解答：

广义坐标：$\theta_1$（$OA$ 与铅垂线夹角），$\theta_2$（$AB$ 与铅垂线夹角）

位置坐标： $A$：$x_A = L\sin\theta_1$，$y_A = -L\cos\theta_1$ $B$：$x_B = L\sin\theta_1 + L\sin\theta_2$，$y_B = -L\cos\theta_1 - L\cos\theta_2$

虚位移： $$\delta x_A = L\cos\theta_1 \delta\theta_1$$ $$\delta x_B = L\cos\theta_1 \delta\theta_1 + L\cos\theta_2 \delta\theta_2$$ $$\delta y_A = L\sin\theta_1 \delta\theta_1$$ $$\delta y_B = L\sin\theta_1 \delta\theta_1 + L\sin\theta_2 \delta\theta_2$$

虚功方程：

主动力：$F$（水平向右），$m_1g$（向下），$m_2g$（向下）

$$\delta W = F \delta x_B + m_1g \delta y_A + m_2g \delta y_B = 0$$

代入并整理，令 $\delta\theta_1$、$\delta\theta_2$ 的系数分别为零，得到两个平衡方程，可求解平衡位置。

滑轮组由动滑轮和定滑轮组成，绳子一端固定，另一端施加力 $F$，重物 $P$ 挂在动滑轮上。用虚位移原理求平衡时 $F$ 与 $P$ 的关系。

解答：

虚位移关系：

设重物上升 $\delta h$，则动滑轮上升 $\delta h$，绳子缩短 $2\delta h$，自由端下降 $2\delta h$。

虚功方程： $$F \cdot 2\delta h - P \cdot \delta h = 0$$

$$F = \frac{P}{2}$$

机械利益为 2。

习题 14.1 用虚位移原理推导杠杆平衡条件：动力 × 动力臂 = 阻力 × 阻力臂。

习题 14.2 曲柄连杆机构的曲柄 $OA$ 长 $r$，连杆 $AB$ 长 $L$，在 $A$ 点作用力 $F$（垂直于 $OA$），在滑块 $B$ 上作用水平力 $P$。求平衡时 $\theta$（$OA$ 与水平夹角）与力的关系。

习题 14.3 楔块 $A$、$B$ 叠放，$A$ 的顶角为 $\alpha$，$A$ 水平放置，$B$ 铅垂放置，接触面光滑。在 $A$ 上作用水平力 $F$，$B$ 上作用铅垂力 $P$。用虚位移原理求平衡时 $F$ 与 $P$ 的关系。

习题 14.4 千斤顶螺杆螺距 $h$，手柄长 $L$，在手柄端部施加力 $F$（垂直于手柄）。求能顶起的重物重量 $P$。

习题 14.5 均质杆 $AB$ 长 $L$，质量 $m$，$A$ 端铰支，$B$ 端用绳系于固定点，杆水平静止。用虚位移原理求绳的张力。

习题 14.6 三铰拱结构，在左半拱 $AC$ 上作用均布载荷 $q$，右半拱 $BC$ 作用集中力 $P$。用虚位移原理求支座 $A$ 的水平约束力。

习题 14.7 证明：具有理想约束的质点系，平衡的充要条件是对任一组广义坐标，所有广义力为零。

习题 14.8 双线摆：小球用两根等长的细绳悬挂，两绳悬挂点在同一水平线上，间距为 $d$，绳长为 $L$。用虚位移原理求小球在铅垂平面内摆动时的平衡位置，并分析稳定性。

习题 14.9 讨论虚位移原理与静力学平衡方程的关系。证明：对于受完整约束的系统，虚位移原理等价于静力学平衡方程。

习题 14.10 设计一个利用虚位移原理测量未知力的装置。要求：

• 基于杠杆或滑轮原理
• 给出测量原理和计算公式
• 分析测量精度

本章主要内容：

• 约束：
  1. 限制质点系运动的条件
  2. 几何约束、运动约束
  3. 定常约束、非定常约束

• 虚位移：
  1. 约束允许的微小位移
  2. 用 $\delta$ 表示，$\delta t = 0$
  3. 与实位移的区别

• 理想约束：
  1. 约束力虚功之和为零
  2. 光滑面、光滑铰、不可伸长绳等

• 虚位移原理：
  1. $\sum \vec{F}_i \cdot \delta \vec{r}_i = 0$
  2. 理想约束下只需考虑主动力
  3. 平衡的充要条件

• 广义坐标与广义力：
  1. 独立参数 $q_1, q_2, \ldots$
  2. 广义力 $Q_j = 0$（平衡条件）

应用要点：

• 正确分析约束，确定自由度
• 选取合适的广义坐标
• 正确计算虚位移之间的关系
• 只计算主动力的虚功
• 约束力自动消去

虚位移原理的优点：

• 只需考虑主动力
• 自动消去理想约束力
• 适用于复杂约束系统
• 是分析力学的基础

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