在前面的章节中，我们假设物体间的接触面是绝对光滑的，约束力沿接触面公法线方向。然而，实际物体的接触面都存在不同程度的粗糙性，当两物体有相对滑动或滑动趋势时，接触面间会产生阻碍相对滑动的力，这就是摩擦力（Friction Force）。

摩擦是自然界和工程中普遍存在的现象。在某些情况下，摩擦是有害的，如机械磨损、能量损耗；但在更多情况下，摩擦是必不可少的，如行走、制动、夹持等。研究摩擦规律对于工程设计和日常生活都具有重要意义。

本章将系统介绍滑动摩擦、滚动摩擦的基本理论，以及摩擦角、自锁等重要概念。

定义：当两物体接触面间有相对滑动趋势但仍保持相对静止时，接触面间产生的摩擦力称为静滑动摩擦力，简称静摩擦力。

特点：

• 方向：与相对滑动趋势方向相反
• 大小：由平衡条件确定，在一定范围内变化
• 最大值：$F_{s,max} = f_s F_N$

其中 $f_s$ 为静摩擦因数，$F_N$ 为法向约束力。

静摩擦定律（库仑定律）：

最大静摩擦力与法向约束力成正比： $$F_{s,max} = f_s F_N$$

静摩擦因数 $f_s$ 取决于接触材料的性质和表面状况，与接触面积无关。

定义：当两物体接触面间发生相对滑动时，接触面间产生的摩擦力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力。

动摩擦定律： $$F_d = f_d F_N$$

其中 $f_d$ 为动摩擦因数，通常 $f_d < f_s$。

动摩擦力的特点：

• 方向与相对滑动方向相反
• 大小近似为常数（在一定速度范围内）
• 一般小于最大静摩擦力

当水平力 $F$ 逐渐增大时，摩擦力 $F_f$ 的变化规律：

• 当 $F = 0$ 时，$F_f = 0$
• 当 $0 < F < F_{s,max}$ 时，$F_f = F$（静摩擦，物体静止）
• 当 $F = F_{s,max}$ 时，物体处于临界状态
• 当 $F > F_{s,max}$ 时，物体滑动，$F_f = f_d F_N < F$

静摩擦因数测定：

将物体置于可倾斜的平面上，逐渐增大倾角 $\alpha$，当物体即将下滑时： $$f_s = \tan\alpha_{max}$$

动摩擦因数测定：

使物体在斜面上匀速下滑，此时： $$f_d = \tan\alpha$$

当静摩擦力达到最大值时，全约束力（法向约束力与最大静摩擦力的合力）与法线间的夹角称为摩擦角，记作 $\varphi_f$。

$$\tan\varphi_f = \frac{F_{s,max}}{F_N} = \frac{f_s F_N}{F_N} = f_s$$

因此： $$\varphi_f = \arctan f_s$$

摩擦锥：

以接触面法线为轴，以 $2\varphi_f$ 为顶角的圆锥称为摩擦锥。若主动力的合力作用线在摩擦锥内，则无论该力多大，物体都保持静止。

定义：如果作用于物体的主动力的合力作用线在摩擦角之内，则无论这个力多大，物体都保持静止，这种现象称为自锁（Self-locking）。

自锁条件： $$\alpha \leq \varphi_f$$

其中 $\alpha$ 为主动力合力与法线的夹角。

工程应用：

• 螺旋千斤顶的设计利用自锁原理
• 楔块夹紧装置
• 螺纹联接的自锁条件：螺纹升角小于摩擦角

考虑摩擦的平衡问题有两类：

类型1：判断物体是否平衡，求摩擦力或摩擦因数

类型2：求物体的平衡范围

解题步骤：

1. 选取研究对象，画受力图
2. 建立坐标系，列平衡方程
3. 补充摩擦方程（$F_f \leq f_s F_N$ 或 $F_f = f_s F_N$）
4. 联立求解

• 若物体的滑动趋势明显，摩擦力方向与趋势相反
• 若趋势不明显或有两种可能，需分别讨论
• 对于复杂问题，可先假设方向，由结果正负判断实际方向

当一个物体在另一个物体表面滚动时，由于接触面的变形，会产生阻碍滚动的阻力，称为滚动摩阻力。

与滑动摩擦不同，滚动摩擦主要是由于接触区的变形引起的，而非接触面间的相对滑动。

设滚子半径为 $R$，正压力为 $F_N$，水平拉力为 $F$。

由于接触区变形，正压力分布不对称，其合力向前偏移距离 $\delta$。

滚动摩阻定律： $$M_f = \delta F_N$$

其中 $\delta$ 为滚动摩阻系数，具有长度量纲，单位为 mm 或 cm。

使物体滚动所需的最小水平力： $$F_{min} = \frac{\delta}{R} F_N$$

通常情况下： $$\frac{\delta}{R} \ll f_s$$

这意味着使物体滚动所需的力远小于使其滑动所需的力。这就是使用轮子和滚珠轴承的原因。

重 $P = 500 \text{ N}$ 的物块放在倾角 $\alpha = 30°$ 的斜面上，物块与斜面间的静摩擦因数 $f_s = 0.3$。

• (a) 判断物块是否静止
• (b) 若静止，求摩擦力的大小
• © 使物块下滑的最小倾角

解答：

(a) 判断静止状态

假设物块静止，沿斜面方向： $$F_f = P\sin\alpha = 500 \times \sin30° = 250 \text{ N}$$

法向： $$F_N = P\cos\alpha = 500 \times \cos30° = 433 \text{ N}$$

最大静摩擦力： $$F_{s,max} = f_s F_N = 0.3 \times 433 = 130 \text{ N}$$

由于所需摩擦力 $250 \text{ N} > F_{s,max} = 130 \text{ N}$，物块将下滑。

(b) 滑动时的摩擦力

物块滑动，动摩擦力（设 $f_d = 0.25$）： $$F_d = f_d F_N = 0.25 \times 433 = 108.3 \text{ N}$$

© 最小下滑倾角

当 $\tan\alpha = f_s$ 时，物块处于临界状态： $$\alpha_{min} = \arctan f_s = \arctan 0.3 = 16.7°$$

楔形滑块 $A$ 放在水平面 $B$ 上，滑块重 $P$，两侧面与铅垂方向夹角均为 $\alpha$。在滑块上作用铅垂力 $Q$，两侧面对滑块有水平压力。已知各接触面静摩擦因数均为 $f_s$，求推动滑块所需的最小水平力 $F$。

解答：

设两侧面的法向压力均为 $F_N$，摩擦力均为 $F_f$。

竖直方向平衡： $$2F_N\cos\alpha + 2F_f\sin\alpha = P + Q$$

水平方向平衡： $$F = 2F_f\cos\alpha + 2F_N\sin\alpha$$

临界状态时 $F_f = f_s F_N$：

由竖直方程： $$2F_N(\cos\alpha + f_s\sin\alpha) = P + Q$$ $$F_N = \frac{P + Q}{2(\cos\alpha + f_s\sin\alpha)}$$

代入水平方程： $$F = 2f_s F_N\cos\alpha + 2F_N\sin\alpha = 2F_N(f_s\cos\alpha + \sin\alpha)$$

$$F = \frac{(P + Q)(f_s\cos\alpha + \sin\alpha)}{\cos\alpha + f_s\sin\alpha}$$

图示制动装置，轮 $O$ 半径 $R = 0.3 \text{ m}$，鼓轮半径 $r = 0.1 \text{ m}$，制动块与轮间静摩擦因数 $f_s = 0.4$。重物 $P = 500 \text{ N}$ 悬挂于鼓轮。求制动所需的最小力 $F$。

解答：

鼓轮平衡： $$P \cdot r = F_f \cdot R$$ $$F_f = \frac{P \cdot r}{R} = \frac{500 \times 0.1}{0.3} = 166.7 \text{ N}$$

所需法向压力： $$F_f \leq f_s F_N \Rightarrow F_N \geq \frac{F_f}{f_s} = \frac{166.7}{0.4} = 416.7 \text{ N}$$

制动杆平衡（对铰链取矩）： $$F \cdot L = F_N \cdot a$$

若 $L = 0.5 \text{ m}$，$a = 0.1 \text{ m}$： $$F = \frac{F_N \cdot a}{L} = \frac{416.7 \times 0.1}{0.5} = 83.3 \text{ N}$$

证明：螺纹的自锁条件是螺纹升角 $\lambda$ 小于或等于摩擦角 $\varphi_f$。

解答：

将螺纹展开成斜面，斜面倾角即为螺纹升角 $\lambda$。

螺母相当于斜面上的滑块，拧紧螺母相当于将滑块推上斜面。

松开螺母时，相当于滑块在重力作用下沿斜面下滑。

由斜面自锁条件，当螺纹升角： $$\lambda \leq \varphi_f = \arctan f_s$$

时，无论轴向载荷多大，螺母都不会自动松脱，实现自锁。

车轮直径 $D = 0.6 \text{ m}$，载荷 $P = 5000 \text{ N}$，滚动摩阻系数 $\delta = 0.5 \text{ mm}$。求使车轮滚动所需的最小水平力，并与滑动所需的最小力比较（设 $f_s = 0.3$）。

解答：

滚动所需最小力： $$F_{滚动} = \frac{\delta}{R} P = \frac{0.5 \times 10^{-3}}{0.3} \times 5000 = 8.33 \text{ N}$$

滑动所需最小力： $$F_{滑动} = f_s P = 0.3 \times 5000 = 1500 \text{ N}$$

比较： $$\frac{F_{滑动}}{F_{滚动}} = \frac{1500}{8.33} = 180$$

滚动所需力仅为滑动的 $1/180$。

习题 4.1 重 $P = 300 \text{ N}$ 的物块放在水平面上，静摩擦因数 $f_s = 0.4$。求：

• (a) 使物块开始滑动的最小水平力
• (b) 当作用力与水平成 $30°$ 斜向上时，使物块滑动的最小力

习题 4.2 重 $P$ 的物块放在倾角 $\alpha$ 的斜面上，摩擦因数为 $f_s$。求使物块保持静止时，水平推力 $F$ 的取值范围。

习题 4.3 如图所示，杆 $AB$ 长 $L$，重 $P$，$A$ 端靠在铅垂墙上，$B$ 端放在水平地面上。各处摩擦因数均为 $f_s$。求杆处于平衡时，杆与水平面的最大夹角 $\theta$。

习题 4.4 鼓轮半径 $R = 0.2 \text{ m}$，轴半径 $r = 0.05 \text{ m}$，重物 $P = 200 \text{ N}$ 悬挂于轴上。制动块与鼓轮间摩擦因数 $f_s = 0.3$。求制动所需最小力 $F$（制动杆尺寸如图所示）。

习题 4.5 均质杆 $AB$ 长 $2L$，重 $P$，放在半径为 $R$ 的半圆柱面上，摩擦因数为 $f_s$。求平衡时杆与水平面的最大夹角 $\theta$。

习题 4.6 楔形块 $A$、$B$ 叠放在水平面上，$A$ 重 $P_1$，$B$ 重 $P_2$。在 $A$ 上作用水平力 $F$。各接触面摩擦因数均为 $f_s$。分析 $A$、$B$ 的运动情况，求各种情况下 $F$ 的值。

习题 4.7 设计一螺旋千斤顶，要求：

• 起重量 $Q = 50 \text{ kN}$
• 螺杆中径 $d_2 = 40 \text{ mm}$
• 螺纹升角 $\lambda = 4°$
• 摩擦因数 $f_s = 0.1$

验证是否满足自锁条件，计算所需扳手力矩。

习题 4.8 皮带绕过圆柱，包角为 $\alpha$，皮带与圆柱间摩擦因数为 $f_s$。证明皮带两端的张力关系（欧拉公式）： $$\frac{F_{T2}}{F_{T1}} = e^{f_s \alpha}$$ 其中 $F_{T2} > F_{T1}$，$\alpha$ 以弧度计。

习题 4.9 分析汽车驱动轮的运动。设驱动轮受发动机力矩 $M$，车轮半径 $R$，车重分配在驱动轮上的载荷为 $P$，摩擦因数为 $f_s$。求：

• 不打滑的最大驱动力
• 车轮开始打滑的条件
• 分析驱动力与摩擦力的关系

习题 4.10 证明：对于任意形状的表面接触，当主动力合力的作用线通过摩擦锥时，物体处于自锁状态。讨论摩擦锥概念在机器人抓取设计中的应用。

本章核心内容：

• 滑动摩擦：
  1. 静摩擦：$0 \leq F_f \leq F_{s,max} = f_s F_N$
  2. 动摩擦：$F_d = f_d F_N$，通常 $f_d < f_s$
  3. 方向：与相对滑动（趋势）方向相反

• 摩擦角与自锁：
  1. 摩擦角：$\tan\varphi_f = f_s$
  2. 自锁条件：主动力作用线在摩擦锥内
  3. 工程应用：螺纹、楔块、夹紧装置

• 滚动摩擦：
  1. 滚动摩阻：$M_f = \delta F_N$
  2. 滚动摩阻系数 $\delta$ 具有长度量纲
  3. 滚动比滑动省力得多

• 解题要点：
  1. 正确判断滑动趋势，确定摩擦力方向
  2. 区分静摩擦（平衡）和临界状态（$F_f = f_s F_N$）
  3. 注意多点接触时各点摩擦力的协调

常见材料的摩擦因数参考值：

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