一般形式： 含有 $n$ 个未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 的 $m$ 个线性方程组成的方程组： $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2
\vdots
a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

矩阵形式： $$Ax = b$$

其中 $A = (a_{ij})_{m \times n}$ 是系数矩阵，$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 是未知数向量，$b = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T$ 是常数项向量。

增广矩阵： $$\overline{A} = (A | b) = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix}$$

分类： - 当 $b = 0$ 时，$Ax = 0$ 称为齐次线性方程组 - 当 $b \neq 0$ 时，$Ax = b$ 称为非齐次线性方程组

定义 3.1（解） 若一组数 $c_1, c_2, \ldots, c_n$ 代入方程组使所有方程成立，则称 $x = (c_1, c_2, \ldots, c_n)^T$ 为方程组的解。

解的分类： - 唯一解：方程组只有一个解 - 无穷多解：方程组有无限多个解 - 无解：方程组没有解（不相容）

线性方程组的初等变换： 1. 互换：交换两个方程的位置 2. 倍乘：用非零常数乘某一方程 3. 倍加：将某方程的倍数加到另一方程上

定理 3.1 初等变换把线性方程组变为同解方程组。

步骤： 1. 写出增广矩阵 $\overline{A}$ 2. 对增广矩阵进行初等行变换，化为行阶梯形矩阵 3. 从最后一行开始回代，求出解

目标： 将增广矩阵化为如下形式： $$\begin{pmatrix} 1 & * & * & \cdots & * & d_1
0 & 1 & * & \cdots & * & d_2
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots
0 & 0 & \cdots & 1 & * & d_r
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & d_{r+1}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

例 3.1 解方程组： $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 3
2x_1 - x_2 + x_3 = 2
x_1 + 2x_2 - x_3 = 4 \end{cases}$$

解： $$\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3
2 & -1 & 1 & 2
1 & 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}$$

$r_2 - 2r_1, r_3 - r_1$： $$\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3
0 & -3 & -1 & -4
0 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

互换 $r_2, r_3$： $$\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3
0 & 1 & -2 & 1
0 & -3 & -1 & -4 \end{pmatrix}$$

$r_3 + 3r_2$： $$\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3
0 & 1 & -2 & 1
0 & 0 & -7 & -1 \end{pmatrix}$$

回代：$x_3 = \frac{1}{7}$，$x_2 = 1 + 2x_3 = \frac{9}{7}$，$x_1 = 3 - x_2 - x_3 = \frac{11}{7}$

唯一解： $x = \left(\frac{11}{7}, \frac{9}{7}, \frac{1}{7}\right)^T$

定理 3.2（有解判定定理） 线性方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是 $$R(A) = R(\overline{A})$$

解的个数判定： - $R(A) = R(\overline{A}) = n$（未知数个数）：唯一解 - $R(A) = R(\overline{A}) = r < n$：无穷多解（有 $n-r$ 个自由未知数） - $R(A) < R(\overline{A})$：无解

例 3.2 讨论方程组解的情况： $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1
x_1 + 2x_2 + ax_3 = 2
x_1 + 4x_2 + a^2x_3 = 3 \end{cases}$$

解： $$\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
1 & 2 & a & 2
1 & 4 & a^2 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
0 & 1 & a-1 & 1
0 & 3 & a^2-1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
0 & 1 & a-1 & 1
0 & 0 & (a-1)(a-2) & -1 \end{pmatrix}$$

- 当 $a = 1$：$R(A) = 2, R(\overline{A}) = 3$，无解 - 当 $a = 2$：$R(A) = R(\overline{A}) = 2 < 3$，无穷多解 - 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq 2$：$R(A) = R(\overline{A}) = 3$，唯一解

性质 1： 齐次线性方程组 $Ax = 0$ 总有解（至少有零解 $x = 0$）。

性质 2： 若 $x = \xi_1$ 和 $x = \xi_2$ 是解，则 $x = \xi_1 + \xi_2$ 也是解。

性质 3： 若 $x = \xi$ 是解，$k$ 是常数，则 $x = k\xi$ 也是解。

推论： 齐次线性方程组解的线性组合仍是解。

定义 3.2（基础解系） 设 $Ax = 0$ 有非零解，若解向量组 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 满足： 1. $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 线性无关 2. $Ax = 0$ 的任一解都可由它们线性表示

则称 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_s$ 为 $Ax = 0$ 的一个基础解系。

定理 3.3 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$R(A) = r < n$，则 $Ax = 0$ 的基础解系含有 $n - r$ 个解向量。

通解： $$x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$$ 其中 $k_1, k_2, \ldots, k_{n-r}$ 为任意常数。

例 3.3 求方程组的基础解系和通解： $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0
2x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 = 0
x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$$

解： $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
2 & 3 & -1 & 1
1 & 2 & -2 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1
0 & 1 & -3 & -1
0 & 1 & -3 & -1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2
0 & 1 & -3 & -1
0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$R(A) = 2 < 4$，基础解系含 2 个向量。

自由未知数：$x_3, x_4$

$\begin{pmatrix} x_3
x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1
0 \end{pmatrix}$：$\xi_1 = (-4, 3, 1, 0)^T$

$\begin{pmatrix} x_3
x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0
1 \end{pmatrix}$：$\xi_2 = (-2, 1, 0, 1)^T$

基础解系： $\xi_1, \xi_2$

通解： $x = k_1\xi_1 + k_2\xi_2$（$k_1, k_2 \in \mathbb{R}$）

性质 1： 若 $x = \eta_1$ 和 $x = \eta_2$ 是 $Ax = b$ 的解，则 $x = \eta_1 - \eta_2$ 是 $Ax = 0$ 的解。

性质 2： 若 $x = \eta$ 是 $Ax = b$ 的解，$x = \xi$ 是 $Ax = 0$ 的解，则 $x = \eta + \xi$ 是 $Ax = b$ 的解。

定理 3.4 设 $x = \eta^*$ 是 $Ax = b$ 的一个特解，$\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$ 是 $Ax = 0$ 的基础解系，则 $Ax = b$ 的通解为 $$x = \eta^* + k_1\xi_1 + k_2\xi_2 + \cdots + k_{n-r}\xi_{n-r}$$

求解步骤： 1. 求 $Ax = b$ 的一个特解 $\eta^*$ 2. 求 $Ax = 0$ 的基础解系 $\xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_{n-r}$ 3. 写出通解

例 3.4 求方程组的通解： $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1
2x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 = 2
x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 3 \end{cases}$$

解： $$\overline{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1
2 & 3 & -1 & 1 & 2
1 & 2 & -2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1
0 & 1 & -3 & -1 & 0
0 & 1 & -3 & -1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 & 1
0 & 1 & -3 & -1 & 0
0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

$R(A) = 2 < R(\overline{A}) = 3$，无解。

例 3.5 求方程组的通解： $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 1
2x_1 + 3x_2 - x_3 + x_4 = 2
3x_1 + 4x_2 + 2x_3 = 3 \end{cases}$$

解： $$\overline{A} \to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1
0 & 1 & -3 & -1 & 0
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 & 1
0 & 1 & -3 & -1 & 0
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

特解： 令 $x_3 = x_4 = 0$，得 $\eta^* = (1, 0, 0, 0)^T$

对应齐次方程的基础解系： $\xi_1 = (-4, 3, 1, 0)^T$，$\xi_2 = (-2, 1, 0, 1)^T$

通解： $x = (1, 0, 0, 0)^T + k_1(-4, 3, 1, 0)^T + k_2(-2, 1, 0, 1)^T$

定理 3.5（克拉默法则） 若 $n$ 元线性方程组 $Ax = b$ 的系数行列式 $D = |A| \neq 0$，则方程组有唯一解： $$x_j = \frac{D_j}{D} \quad (j = 1, 2, \ldots, n)$$

其中 $D_j$ 是将 $D$ 的第 $j$ 列换成常数项 $b$ 所得的行列式。

例 3.6 用克拉默法则解方程组： $$\begin{cases} 2x_1 + x_2 + x_3 = 4
x_1 + 2x_2 + x_3 = 4
x_1 + x_2 + 2x_3 = 4 \end{cases}$$

解： $$D = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1
1 & 2 & 1
1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(4-1) - 1(2-1) + 1(1-2) = 6 - 1 - 1 = 4$$

$$D_1 = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 1
4 & 2 & 1
4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 4(4-1) - 1(8-4) + 1(4-8) = 12 - 4 - 4 = 4$$

$$D_2 = 4, \quad D_3 = 4$$

$$x_1 = x_2 = x_3 = \frac{4}{4} = 1$$

例题 3.1 设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$Ax = 0$ 是 $Ax = b$ 对应的齐次方程组。判断下列命题：

(1) 若 $Ax = 0$ 只有零解，则 $Ax = b$ 有唯一解。（✗，可能无解）

(2) 若 $Ax = b$ 有无穷多解，则 $Ax = 0$ 有非零解。（✓）

例题 3.2 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$R(A) = n-1$，$A$ 的每行元素之和为 0，求 $Ax = 0$ 的通解。

解： 基础解系含 $n - (n-1) = 1$ 个向量。

由条件：$A\begin{pmatrix} 1
1
\vdots
1 \end{pmatrix} = 0$，故 $\xi = (1, 1, \ldots, 1)^T$ 是基础解系。

通解： $x = k(1, 1, \ldots, 1)^T$（$k \in \mathbb{R}$）

基础题 1. 用高斯消元法解方程组：

 $$\begin{cases} x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 2 \end{cases}$$

2. 求齐次方程组的基础解系：

 $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\ 2x_1 - x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 - 2x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}$$

提高题 3. 讨论 $a$ 取何值时，方程组有解：

 $$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3 \\ x_1 + ax_2 + 3x_3 = 2 \end{cases}$$

4. 设 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$R(A) = 2$，已知 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 是 $Ax = b$ 的三个解，且

 $$\eta_1 + \eta_2 = (2, 0, 1, 2)^T, \quad \eta_2 + \eta_3 = (1, 2, 0, 3)^T$$
 求 $Ax = b$ 的通解。

挑战题 5. 设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$A^* \neq O$，$\xi_1, \xi_2$ 是 $Ax = b$ 的两个不同解。证明：

 (1) $R(A) = n-1$
 (2) $Ax = 0$ 的通解为 $x = k(\xi_1 - \xi_2)$

6. 证明：方程组 $Ax = b$ 有解的充分必要条件是 $A^Ty = 0$ 的解都是 $b^Ty = 0$ 的解。

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