定义 2.1（n维向量） $n$ 个有次序的数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 所组成的数组称为 $n$ 维向量，这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量。分量全为实数的向量称为实向量。

$n$ 维向量可以写成一行（行向量）：$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$

或写成一列（列向量）：$\alpha = \begin{pmatrix} a_1
a_2
\vdots
a_n \end{pmatrix}$

向量相等： 两个向量相等当且仅当它们的维数相同且对应分量相等。

1. 向量的加法 设 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)$，则 $$\alpha + \beta = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots, a_n + b_n)$$

2. 数与向量的乘法（数乘） 设 $\lambda$ 是数，$\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$，则 $$\lambda\alpha = (\lambda a_1, \lambda a_2, \ldots, \lambda a_n)$$

向量的线性运算性质： - 交换律：$\alpha + \beta = \beta + \alpha$ - 结合律：$(\alpha + \beta) + \gamma = \alpha + (\beta + \gamma)$ - 零向量：$\alpha + 0 = \alpha$（其中 $0 = (0, 0, \ldots, 0)$） - 负向量：$\alpha + (-\alpha) = 0$ - 分配律：$\lambda(\alpha + \beta) = \lambda\alpha + \lambda\beta$，$(\lambda + \mu)\alpha = \lambda\alpha + \mu\alpha$

例 2.1 设 $\alpha = (1, 2, 3)$，$\beta = (4, 5, 6)$，求 $2\alpha - 3\beta$。

解： $2\alpha - 3\beta = (2, 4, 6) - (12, 15, 18) = (-10, -11, -12)$

定义 2.2（线性组合） 给定向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 和向量 $\beta$，若存在一组数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 使得 $$\beta = k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m$$ 则称 $\beta$ 是向量组 $A$ 的线性组合，或称 $\beta$ 可由向量组 $A$ 线性表示。

例 2.2 设 $\alpha_1 = (1, 0)$，$\alpha_2 = (0, 1)$，$\beta = (3, 4)$，则 $$\beta = 3\alpha_1 + 4\alpha_2$$ 故 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。

例 2.3 设 $\alpha_1 = (1, 2, 3)$，$\alpha_2 = (2, 4, 6)$，$\beta = (3, 6, 9)$，则 $$\beta = 3\alpha_1 = \frac{3}{2}\alpha_2$$ 故 $\beta$ 可由 $\alpha_1$（或 $\alpha_2$）线性表示。

定义 2.3（线性相关） 给定向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$（$m \geq 2$），若存在不全为零的数 $k_1, k_2, \ldots, k_m$ 使得 $$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$$ 则称向量组 $A$ 线性相关。

定义 2.4（线性无关） 若只有当 $k_1 = k_2 = \cdots = k_m = 0$ 时上式才成立，则称向量组 $A$ 线性无关。

定理 2.1 向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$（$m \geq 2$）线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示。

例 2.4 判断 $\alpha_1 = (1, 2, 3)$，$\alpha_2 = (2, 4, 6)$，$\alpha_3 = (1, 1, 1)$ 的线性相关性。

解： 观察知 $\alpha_2 = 2\alpha_1$，故存在不全为零的数 $2, -1, 0$ 使 $$2\alpha_1 - \alpha_2 + 0\alpha_3 = 0$$ 因此向量组线性相关。

例 2.5 判断 $\varepsilon_1 = (1, 0, 0)$，$\varepsilon_2 = (0, 1, 0)$，$\varepsilon_3 = (0, 0, 1)$ 的线性相关性。

解： 设 $k_1\varepsilon_1 + k_2\varepsilon_2 + k_3\varepsilon_3 = 0$，即 $$(k_1, k_2, k_3) = (0, 0, 0)$$ 故 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$，向量组线性无关。

定理 2.2 $n$ 维向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 $$x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_m\alpha_m = 0$$ 有非零解。

等价地，设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$，则： - 向量组线性相关 $\Leftrightarrow Ax = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow R(A) < m$ - 向量组线性无关 $\Leftrightarrow Ax = 0$ 只有零解 $\Leftrightarrow R(A) = m$

推论： - 任意 $n+1$ 个 $n$ 维向量必线性相关 - 若向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关 - 若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关

例 2.6 判断 $\alpha_1 = (1, 2, -1)$，$\alpha_2 = (2, -3, 1)$，$\alpha_3 = (4, 1, -1)$ 的线性相关性。

解： 设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4
2 & -3 & 1
-1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

计算行列式： $$|A| = 1(3-1) - 2(-2+1) + 4(2-3) = 2 + 2 - 4 = 0$$

故 $R(A) < 3$，向量组线性相关。

定义 2.5（极大线性无关组） 设向量组 $A$ 的一个部分组 $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, \ldots, \alpha_{i_r}$ 满足： 1. 该部分组线性无关 2. 向量组 $A$ 中任意 $r+1$ 个向量（如果存在）都线性相关

则称该部分组为向量组 $A$ 的一个极大线性无关组。

性质： - 极大线性无关组一般不唯一 - 但任意两个极大线性无关组所含向量个数相同

定义 2.6（向量组的秩） 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为 $R(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$。

定理 2.3 矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于其行向量组的秩（三秩相等）。

例 2.7 求向量组 $\alpha_1 = (1, 2, -1, 4)$，$\alpha_2 = (2, -3, 1, -2)$，$\alpha_3 = (4, 1, -1, 6)$，$\alpha_4 = (-2, 5, -1, 2)$ 的秩和一个极大线性无关组。

解： 构造矩阵并初等行变换： $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -2
2 & -3 & 1 & 5
-1 & 1 & -1 & -1
4 & -2 & 6 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -2
0 & -7 & -7 & 9
0 & 3 & 3 & -3
0 & -10 & -10 & 10 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & -2
0 & 1 & 1 & -1
0 & 0 & 0 & 2
0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

$R(A) = 3$，向量组的秩为 3。

极大线性无关组可取 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_4$（或其他组合）。

定义 2.7（向量空间） 设 $V$ 是 $n$ 维向量的非空集合，若 $V$ 对向量的加法和数乘两种运算封闭，即： 1. 若 $\alpha \in V$，$\beta \in V$，则 $\alpha + \beta \in V$ 2. 若 $\alpha \in V$，$\lambda \in \mathbb{R}$，则 $\lambda\alpha \in V$

则称 $V$ 是一个向量空间。

例 2.8 - $\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 是向量空间 - $V = \{(0, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 是向量空间 - $V = \{(1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ 不是向量空间（对加法不封闭）

定义 2.8（基） 设 $V$ 是向量空间，若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r \in V$ 满足： 1. $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性无关 2. $V$ 中任一向量都可由它们线性表示

则称 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 为 $V$ 的一个基。

定义 2.9（维数） 基中所含向量的个数称为向量空间 $V$ 的维数，记为 $\dim V$。

标准基： $\mathbb{R}^n$ 的标准基为 $\varepsilon_1 = (1, 0, \ldots, 0)$，$\varepsilon_2 = (0, 1, \ldots, 0)$，$\ldots$，$\varepsilon_n = (0, 0, \ldots, 1)$，$\dim \mathbb{R}^n = n$。

定义 2.10（坐标） 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是向量空间 $V$ 的一个基，对任意 $\alpha \in V$，若 $$\alpha = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n$$ 则称 $(x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$ 为 $\alpha$ 在该基下的坐标。

例 2.9 在 $\mathbb{R}^3$ 中，求 $\beta = (3, 4, 5)$ 在基 $\alpha_1 = (1, 1, 1)$，$\alpha_2 = (1, 1, 0)$，$\alpha_3 = (1, 0, 0)$ 下的坐标。

解： 设 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3$，即 $$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 3
x_1 + x_2 = 4
x_1 = 5 \end{cases}$$

解得 $x_1 = 5$，$x_2 = -1$，$x_3 = -1$。

坐标为 $(5, -1, -1)^T$。

定义 2.11（子空间） 设 $W$ 是向量空间 $V$ 的非空子集，若 $W$ 对 $V$ 的加法和数乘运算也构成向量空间，则称 $W$ 是 $V$ 的子空间。

判定定理： $W$ 是 $V$ 的子空间当且仅当 $W$ 对加法和数乘封闭。

例 2.10 - $\{0\}$ 和 $V$ 本身都是 $V$ 的子空间（平凡子空间） - 过原点的直线、平面是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间 - 不过原点的直线、平面不是子空间

定义 2.12（生成子空间） 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 是向量空间 $V$ 中的向量，则 $$L(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m) = \{k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m : k_i \in \mathbb{R}\}$$ 是由 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 生成的子空间。

定理 2.4 $\dim L(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m) = R(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m)$

例题 2.1 设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，证明 $\beta_1 = \alpha_1 + \alpha_2$，$\beta_2 = \alpha_2 + \alpha_3$，$\beta_3 = \alpha_3 + \alpha_1$ 也线性无关。

证明： 设 $k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$，即 $$(k_1 + k_3)\alpha_1 + (k_1 + k_2)\alpha_2 + (k_2 + k_3)\alpha_3 = 0$$

因 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，故 $$\begin{cases} k_1 + k_3 = 0
k_1 + k_2 = 0
k_2 + k_3 = 0 \end{cases}$$

系数行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1
1 & 1 & 0
0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0$，只有零解 $k_1 = k_2 = k_3 = 0$。

故 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 线性无关。

例题 2.2 证明：任意 $n$ 维向量都可由 $n$ 维单位坐标向量组唯一线性表示。

证明： $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_n$ 线性无关且是 $\mathbb{R}^n$ 的基。 对任意 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^n$，有 $$\alpha = a_1\varepsilon_1 + a_2\varepsilon_2 + \cdots + a_n\varepsilon_n$$

因基唯一确定坐标，故表示唯一。

基础题 1. 判断下列向量组的线性相关性：

 (a) $\alpha_1 = (1, 2)$，$\alpha_2 = (2, 4)$
 (b) $\alpha_1 = (1, 0, 0)$，$\alpha_2 = (0, 1, 1)$，$\alpha_3 = (1, 1, 1)$

2. 求向量组 $\alpha_1 = (1, 2, 3, 4)$，$\alpha_2 = (2, 3, 4, 5)$，$\alpha_3 = (3, 4, 5, 6)$，$\alpha_4 = (4, 5, 6, 7)$ 的秩和一个极大线性无关组。

提高题 3. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性无关，$\beta = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_m$。证明 $\beta - \alpha_1, \beta - \alpha_2, \ldots, \beta - \alpha_m$ 线性无关。

4. 设 $V$ 是向量空间，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基。证明：对任意 $\beta \in V$，存在唯一的 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 使 $\beta = x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + \cdots + x_n\alpha_n$。

挑战题 5. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，$A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵。证明 $A\alpha_1, A\alpha_2, \ldots, A\alpha_n$ 也是 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。

6. 证明：若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s$ 线性表示，且 $r > s$，则 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_r$ 线性相关。

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