定义 6.1（内积） 设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的向量空间，若对 $V$ 中任意两个向量 $\alpha, \beta$，都有一个确定的实数 $(\alpha, \beta)$ 与之对应，且满足： 1. 对称性： $(\alpha, \beta) = (\beta, \alpha)$ 2. 线性性： $(k\alpha + l\beta, \gamma) = k(\alpha, \gamma) + l(\beta, \gamma)$ 3. 正定性： $(\alpha, \alpha) \geq 0$，且 $(\alpha, \alpha) = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0$

则称 $(\alpha, \beta)$ 为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积，定义了内积的向量空间称为内积空间或欧几里得空间（简称欧氏空间）。

例 6.1（标准内积） 在 $\mathbb{R}^n$ 中，对 $\alpha = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$，$\beta = (b_1, b_2, \ldots, b_n)^T$，定义 $$(\alpha, \beta) = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n = \alpha^T\beta$$ 这是 $\mathbb{R}^n$ 上的标准内积。

性质 1： $(\alpha, k\beta) = k(\alpha, \beta)$

性质 2： $(\alpha, \beta + \gamma) = (\alpha, \beta) + (\alpha, \gamma)$

性质 3： $(\alpha, 0) = (0, \alpha) = 0$

性质 4（柯西-施瓦茨不等式）： $$(\alpha, \beta)^2 \leq (\alpha, \alpha)(\beta, \beta)$$ 等号成立当且仅当 $\alpha$ 与 $\beta$ 线性相关。

定义 6.2（长度/范数） 向量 $\alpha$ 的长度（或范数）定义为 $$|\alpha| = \sqrt{(\alpha, \alpha)}$$

性质： 1. $|\alpha| \geq 0$，$|\alpha| = 0 \Leftrightarrow \alpha = 0$ 2. $|k\alpha| = |k||\alpha|$ 3. 三角不等式： $|\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta|$

单位向量： 长度为 1 的向量。对任意非零向量 $\alpha$，$\frac{\alpha}{|\alpha|}$ 是单位向量，称为 $\alpha$ 的单位化。

定义 6.3（夹角） 非零向量 $\alpha, \beta$ 的夹角定义为 $$\theta = \arccos\frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|}$$ 其中 $0 \leq \theta \leq \pi$。

由柯西-施瓦茨不等式，$\left|\frac{(\alpha, \beta)}{|\alpha||\beta|}\right| \leq 1$，故夹角定义合理。

定义 6.4（正交） 若 $(\alpha, \beta) = 0$，则称向量 $\alpha$ 与 $\beta$ 正交（或垂直），记为 $\alpha \perp \beta$。

性质： - 零向量与任何向量正交 - 若 $\alpha \perp \beta$，则 $|\alpha + \beta|^2 = |\alpha|^2 + |\beta|^2$（勾股定理）

定义 6.5（正交向量组） 若非零向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 两两正交，则称其为正交向量组。

定理 6.1 正交向量组必线性无关。

定义 6.6（正交基） $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，由 $n$ 个向量组成的正交向量组称为 $V$ 的正交基。

定义 6.7（标准正交基） 若正交基中每个向量都是单位向量，则称为标准正交基（或规范正交基）。

即满足：$(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i = j
0, & i \neq j \end{cases}$

例 6.2 $\mathbb{R}^n$ 的标准基 $\varepsilon_1 = (1, 0, \ldots, 0)^T$，$\ldots$，$\varepsilon_n = (0, 0, \ldots, 1)^T$ 是标准正交基。

问题： 给定向量组，如何求与其等价的正交向量组？

施密特正交化过程：

设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 线性无关。

正交化： $$\beta_1 = \alpha_1$$ $$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1$$ $$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2$$ $$\vdots$$ $$\beta_m = \alpha_m - \sum_{i=1}^{m-1} \frac{(\alpha_m, \beta_i)}{(\beta_i, \beta_i)}\beta_i$$

单位化： $$\gamma_i = \frac{\beta_i}{|\beta_i|} \quad (i = 1, 2, \ldots, m)$$

则 $\gamma_1, \gamma_2, \ldots, \gamma_m$ 是与 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$ 等价的标准正交向量组。

例 6.3 用施密特方法将 $\alpha_1 = (1, 1, 1)^T$，$\alpha_2 = (1, 2, 3)^T$，$\alpha_3 = (1, 4, 9)^T$ 标准正交化。

解： $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 1, 1)^T$

$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 = (1, 2, 3)^T - \frac{6}{3}(1, 1, 1)^T = (-1, 0, 1)^T$

$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3, \beta_1)}{(\beta_1, \beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3, \beta_2)}{(\beta_2, \beta_2)}\beta_2$

$= (1, 4, 9)^T - \frac{14}{3}(1, 1, 1)^T - \frac{8}{2}(-1, 0, 1)^T = (\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})^T$

单位化得标准正交基。

定义 6.8（正交变换） 设 $T$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换，若保持内积不变，即 $$(T(\alpha), T(\beta)) = (\alpha, \beta) \quad (\forall \alpha, \beta \in V)$$ 则称 $T$ 为正交变换。

等价条件： 1. $T$ 保持长度不变：$|T(\alpha)| = |\alpha|$ 2. $T$ 将标准正交基变为标准正交基 3. $T$ 在标准正交基下的矩阵为正交矩阵

定义 6.9（正交矩阵） 若 $n$ 阶实矩阵 $A$ 满足 $A^TA = AA^T = E$（即 $A^{-1} = A^T$），则称 $A$ 为正交矩阵。

正交矩阵的性质： 1. $|A| = \pm 1$ 2. $A^T, A^{-1}$ 也是正交矩阵 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵 4. 正交矩阵的列（行）向量组是标准正交组

例题 6.1 设 $A$ 是正交矩阵，$\alpha, \beta$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量，证明：$(A\alpha, A\beta) = (\alpha, \beta)$。

证明： $(A\alpha, A\beta) = (A\alpha)^T(A\beta) = \alpha^T A^T A \beta = \alpha^T \beta = (\alpha, \beta)$

例题 6.2 设 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的基，证明：若对任意 $\beta \in V$，有 $(\beta, \alpha_i) = 0$（$i = 1, 2, \ldots, n$），则 $\beta = 0$。

证明： $\beta$ 可由基表示：$\beta = k_1\alpha_1 + \cdots + k_n\alpha_n$

$(\beta, \beta) = (\beta, \sum k_i\alpha_i) = \sum k_i(\beta, \alpha_i) = 0$，故 $\beta = 0$。

基础题 1. 在 $\mathbb{R}^3$ 中，对向量 $\alpha = (1, 2, 3)^T$，$\beta = (4, 5, 6)^T$，计算内积、长度、夹角。

2. 用施密特方法将下列向量组标准正交化：

 $\alpha_1 = (1, 0, 1)^T$，$\alpha_2 = (1, 1, 0)^T$，$\alpha_3 = (0, 1, 1)^T$

提高题 3. 证明：正交矩阵的实特征值只能是 $\pm 1$。

4. 设 $A$ 是正交矩阵，$|A| = -1$，证明：$A$ 有特征值 $-1$。

挑战题 5. 设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_1$ 和 $\lambda_n$ 分别是 $A$ 的最大和最小特征值。证明：

 $$\lambda_1 = \max_{\alpha \neq 0} \frac{(A\alpha, \alpha)}{(\alpha, \alpha)}, \quad \lambda_n = \min_{\alpha \neq 0} \frac{(A\alpha, \alpha)}{(\alpha, \alpha)}$$

6. 证明：任何可逆实矩阵都可以唯一地分解为一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积（QR 分解）。

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