鞅论是现代概率论的核心分支之一，由Doob等人在20世纪中叶系统发展起来。鞅描述了“公平游戏”的数学模型，在金融学（有效市场假说）、统计学（序贯分析）、随机过程等领域有广泛应用。

鞅的核心思想：给定当前信息，未来期望等于当前值。这与Markov性（未来只依赖于现在）不同，鞅关注的是期望值的条件特征。

定义7.1（条件期望） 设 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 是概率空间，$\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$ 是子$\sigma$-代数，$X$ 是可积随机变量。$X$ 关于 $\mathcal{G}$ 的条件期望是满足以下条件的随机变量 $E[X|\mathcal{G}]$：

• $E[X|\mathcal{G}]$ 是 $\mathcal{G}$-可测的
• 对任意 $A \in \mathcal{G}$，$\int_A E[X|\mathcal{G}]dP = \int_A X dP$

存在唯一性：由Radon-Nikodym定理保证存在性和在a.s.意义下的唯一性。

定理7.1（基本性质）

(1) 线性性：$E[aX + bY|\mathcal{G}] = aE[X|\mathcal{G}] + bE[Y|\mathcal{G}]$

(2) 单调性：若 $X \leq Y$ a.s.，则 $E[X|\mathcal{G}] \leq E[Y|\mathcal{G}]$ a.s.

(3) 塔性质（Tower Property）：若 $\mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2$，则 $$E[E[X|\mathcal{G}_2]|\mathcal{G}_1] = E[X|\mathcal{G}_1]$$ 特别地，$E[E[X|\mathcal{G}]] = E[X]$。

(4) 取性质：若 $X$ 是 $\mathcal{G}$-可测的，则 $E[XY|\mathcal{G}] = X E[Y|\mathcal{G}]$

(5) 独立性：若 $X$ 与 $\mathcal{G}$ 独立，则 $E[X|\mathcal{G}] = E[X]$

(6) Jensen不等式：若 $\varphi$ 是凸函数，则 $\varphi(E[X|\mathcal{G}]) \leq E[\varphi(X)|\mathcal{G}]$

定理7.2（条件单调收敛定理） 若 $0 \leq X_n \uparrow X$ a.s.，则 $E[X_n|\mathcal{G}] \uparrow E[X|\mathcal{G}]$ a.s.

定理7.3（条件Fatou引理） 若 $X_n \geq 0$，则 $E[\liminf X_n|\mathcal{G}] \leq \liminf E[X_n|\mathcal{G}]$

定理7.4（条件控制收敛定理） 若 $|X_n| \leq Y$，$Y$ 可积，$X_n \to X$ a.s.，则 $E[X_n|\mathcal{G}] \to E[X|\mathcal{G}]$ a.s.

定义7.2 $E[X|Y] = E[X|\sigma(Y)]$，其中 $\sigma(Y)$ 是 $Y$ 生成的$\sigma$-代数。

$E[X|Y]$ 是 $Y$ 的Borel可测函数，可写为 $g(Y)$。

定义7.3（滤子） 概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的滤子（Filtration）是单调递增的$\sigma$-代数序列 $\{\mathcal{F}_n, n \geq 0\}$： $$\mathcal{F}_0 \subseteq \mathcal{F}_1 \subseteq \mathcal{F}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{F}$$

解释：$\mathcal{F}_n$ 表示到时刻 $n$ 为止可获得的全部信息。

定义7.4（适应过程） 随机序列 $\{X_n\}$ 称为适应于滤子 $\{\mathcal{F}_n\}$，如果对每个 $n$，$X_n$ 是 $\mathcal{F}_n$-可测的。

定义7.5（鞅） 适应序列 $\{X_n, \mathcal{F}_n, n \geq 0\}$ 称为鞅，如果：

• $E[|X_n|] < \infty$ 对所有 $n$
• $E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = X_n$ a.s. 对所有 $n$

定义7.6（下鞅/上鞅）

• 下鞅（Submartingale）：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] \geq X_n$（期望上升）
• 上鞅（Supermartingale）：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] \leq X_n$（期望下降）

直观理解：鞅 = 公平游戏，下鞅 = 有利游戏，上鞅 = 不利游戏。

定理7.5

(1) $\{X_n\}$ 是鞅 $\Rightarrow$ $E[X_n] = E[X_0]$ 对所有 $n$

(2) $\{X_n\}$ 是下鞅 $\Rightarrow$ $E[X_n] \geq E[X_0]$，且单调递增

(3) $\{X_n\}$ 是鞅，$\varphi$ 是凸函数，则 $\{\varphi(X_n)\}$ 是下鞅（若可积）

(4) $\{X_n\}$ 是鞅，则 $\{|X_n|\}$ 和 $\{X_n^2\}$（若可积）是下鞅

例7.1 设 $\{\xi_n\}$ 独立，$E[\xi_n] = 0$，$X_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$。则 $\{X_n\}$ 是鞅。

证明：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E[X_n + \xi_{n+1}|\mathcal{F}_n] = X_n + E[\xi_{n+1}] = X_n$。

例7.2 设 $\{\xi_n\}$ 独立同分布，矩母函数 $\phi(t) = E[e^{t\xi_1}]$ 存在。定义： $$M_n = \frac{e^{tS_n}}{\phi(t)^n}, \quad S_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$$ 则 $\{M_n\}$ 是鞅。

例7.3 设 $X$ 可积，$\{\mathcal{F}_n\}$ 是滤子，定义 $X_n = E[X|\mathcal{F}_n]$。则 $\{X_n\}$ 是鞅。

证明：$E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] = E[E[X|\mathcal{F}_{n+1}]|\mathcal{F}_n] = E[X|\mathcal{F}_n] = X_n$。

例7.4（Black-Scholes框架） 在风险中性测度下，贴现股价过程是鞅： $$M_n = e^{-rn}S_n$$ 其中 $r$ 是无风险利率，$S_n$ 是股价。

定义7.7（停时） 取值于 $\{0, 1, 2, \ldots, +\infty\}$ 的随机变量 $\tau$ 称为关于滤子 $\{\mathcal{F}_n\}$ 的停时，如果对每个 $n$，事件 $\{\tau \leq n\} \in \mathcal{F}_n$。

等价条件：$\{\tau = n\} \in \mathcal{F}_n$ 对每个 $n$。

直观：停时的决策“是否现在停止”只依赖于当前和过去的信息，不依赖于未来。

例7.5

• 首达时：$\tau_a = \inf\{n \geq 0: X_n = a\}$
• 退出时：$\tau = \inf\{n \geq 0: X_n \notin (a, b)\}$

定理7.6（Doob可选停时定理） 设 $\{X_n\}$ 是鞅，$\tau$ 是停时。在一定条件下： $$E[X_\tau] = E[X_0]$$

定理7.7 可选停时定理成立的条件（满足其一即可）：

(1) $\tau$ 有界（存在 $N$ 使 $\tau \leq N$ a.s.）

(2) $E[\tau] < \infty$ 且 $|X_{n+1} - X_n| \leq C$（有界增量）

(3) $|X_{n \wedge \tau}| \leq Y$ 对某个可积随机变量 $Y$

例7.6 简单随机游动，$p = q = 1/2$，$X_0 = i$，$0 < i < N$。求被0吸收的概率。

设 $\tau = \inf\{n: X_n = 0 \text{ 或 } N\}$。由可选停时定理： $$E[X_\tau] = E[X_0] = i$$

又 $E[X_\tau] = 0 \cdot P(X_\tau = 0) + N \cdot P(X_\tau = N)$，故： $$P(X_\tau = N) = \frac{i}{N}, \quad P(X_\tau = 0) = \frac{N-i}{N}$$

定义7.8（可料序列） 序列 $\{H_n\}$ 称为可料的，如果 $H_n$ 是 $\mathcal{F}_{n-1}$-可测的（$H_0$ 为常数）。

定义7.9（鞅变换） 设 $\{X_n\}$ 是鞅，$\{H_n\}$ 可料且有界，定义： $$(H \cdot X)_n = \sum_{k=1}^n H_k(X_k - X_{k-1})$$ 称为鞅变换或离散随机积分。

定理7.8 $\{(H \cdot X)_n\}$ 是鞅。

金融解释：$X_n$ 是股价，$H_n$ 是基于前 $n-1$ 期信息的持仓量，$(H \cdot X)_n$ 是累积收益。鞅变换表示“无法战胜市场”。

定义7.10（连续时间鞅） 适应过程 $\{X(t), \mathcal{F}_t, t \geq 0\}$ 称为鞅，如果：

• $E[|X(t)|] < \infty$ 对所有 $t$
• $E[X(t)|\mathcal{F}_s] = X(s)$ a.s. 对 $s < t$

例7.7（布朗运动） 标准布朗运动 $\{B(t)\}$ 是鞅。

证明：$E[B(t)|\mathcal{F}_s] = E[B(s) + (B(t) - B(s))|\mathcal{F}_s] = B(s) + 0 = B(s)$。

例7.8 $B(t)^2 - t$ 是鞅。

例题1 证明：若 $\{X_n\}$ 是下鞅，则存在唯一的分解 $X_n = M_n + A_n$，其中 $\{M_n\}$ 是鞅，$\{A_n\}$ 是可料递增过程，$A_0 = 0$。

证明（Doob分解）：令 $A_0 = 0$，$A_{n+1} = A_n + E[X_{n+1} - X_n|\mathcal{F}_n]$，$M_n = X_n - A_n$。

验证：$M_n$ 是鞅，$A_n$ 可料递增。

例题2 利用Wald鞅求简单随机游动首达时的分布。

解：设 $\phi(t) = pe^t + qe^{-t}$，$M_n = e^{tS_n}/\phi(t)^n$ 是鞅。

对首达时 $\tau$ 应用可选停时（需验证条件），得： $$E\left[\frac{e^{tS_\tau}}{\phi(t)^\tau}\right] = 1$$

由此可导出 $\tau$ 的生成函数。

习题7.1 证明条件期望的性质：(1) 塔性质 (2) 取性质。

习题7.2 设 $\{X_n\}$ 是鞅，证明 $E[X_n|\mathcal{F}_m] = X_m$ 对 $m < n$。

习题7.3 设 $\xi_n$ 独立，$P(\xi_n = 1) = P(\xi_n = -1) = 1/2$，$X_n = \prod_{k=1}^n \xi_k$。证明 $\{X_n\}$ 是鞅。

习题7.4 简单对称随机游动，$X_0 = 0$。求 $E[\tau]$，其中 $\tau = \inf\{n: X_n = 1\}$。

习题7.5 设 $\{X_n\}$ 是下鞅，$\varphi$ 是增凸函数。证明 $\{\varphi(X_n)\}$ 是下鞅（若可积）。

习题7.6 证明：连续时间过程 $X(t)$ 是鞅当且仅当对所有停时 $\tau$，$E[X(t \wedge \tau)] = E[X(0)]$。

习题7.7 设 $B(t)$ 是标准布朗运动，$M(t) = \exp(\theta B(t) - \theta^2 t/2)$。证明 $\{M(t)\}$ 是鞅。

习题7.8 设 $\tau$ 是停时，证明 $\tau \wedge n$ 也是停时，且对鞅 $\{X_n\}$，$E[X_{\tau \wedge n}] = E[X_0]$。

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