布朗运动（Brownian Motion）是随机过程理论中最重要的过程之一，最初由Robert Brown在1827年观察花粉颗粒在水中的无规则运动时发现。1905年Einstein给出了其物理解释，1923年Norbert Wiener建立了严格的数学理论，因此也称为维纳过程（Wiener Process）。

布朗运动是连续时间随机过程的基石，是随机微积分的基础，在金融数学（Black-Scholes模型）、物理（扩散过程）、生物（群体遗传）等领域有核心应用。

定义9.1（标准布朗运动） 随机过程 $\{B(t), t \geq 0\}$ 称为标准布朗运动，如果满足：

• (i) $B(0) = 0$ a.s.
• (ii) 具有独立增量：对 $0 \leq t_1 < t_2 < \cdots < t_n$，增量 $B(t_2)-B(t_1), \ldots, B(t_n)-B(t_{n-1})$ 相互独立
• (iii) 具有平稳增量：对 $s, t > 0$，$B(t+s) - B(s) \sim N(0, t)$
• (iv) 样本路径连续：$B(t)$ 关于 $t$ 几乎必然连续

定理9.1（Wiener） 标准布朗运动存在。

证明概要（Levy构造）：在 $[0, 1]$ 上，通过Schauder函数展开构造： $$B(t) = \sum_{n=0}^{\infty} \sum_{k=0}^{2^n-1} Z_{n,k} \Delta_{n,k}(t)$$

其中 $Z_{n,k} \sim N(0, 1)$ i.i.d.，$\Delta_{n,k}(t)$ 是三角形帐篷函数。

定理9.2（尺度性质） 设 $\{B(t)\}$ 是标准布朗运动，则：

(1) 自相似性：对任意 $c > 0$，$\{c^{-1/2}B(ct)\}$ 也是标准布朗运动

(2) 时间反演：$\{tB(1/t)\}$（定义 $0 \cdot \infty = 0$）是标准布朗运动

(3) 对称性：$\{-B(t)\}$ 是标准布朗运动

均值函数： $$E[B(t)] = 0$$

协方差函数：对 $s, t \geq 0$， $$Cov(B(s), B(t)) = \min(s, t)$$

证明：设 $s \leq t$， $$\begin{aligned} Cov(B(s), B(t)) &= E[B(s)B(t)] = E[B(s)(B(s) + B(t) - B(s))]
&= E[B(s)^2] + E[B(s)(B(t) - B(s))] = s + 0 = s = \min(s, t) \end{aligned}$$

定义9.2（二次变差） 设 $\Pi = \{0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = t\}$ 是 $[0, t]$ 的分割，$\|\Pi\| = \max_i (t_{i+1} - t_i)$。布朗运动的二次变差定义为： $$[B]_t = \lim_{\|\Pi\| \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} (B(t_{i+1}) - B(t_i))^2$$

定理9.3 布朗运动的二次变差： $$[B]_t = t \quad \text{a.s.}$$

证明：计算期望和方差。

设 $\Delta B_i = B(t_{i+1}) - B(t_i)$，$\Delta t_i = t_{i+1} - t_i$。

期望： $$E\left[\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta B_i)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta t_i = t$$

方差： $$Var¹⁾$$

其中 $\Phi$ 是标准正态分布函数。

证明：利用对称性（反射原理）。 $$\begin{aligned} P(M(t) \geq a) &= P(M(t) \geq a, B(t) \geq a) + P(M(t) \geq a, B(t) < a)
&= P(B(t) \geq a) + P(B(t) \geq a) = 2P(B(t) \geq a) \end{aligned}$$

第二个等号由反射对称性得到。

定义9.3（首达时） 对 $a \in \mathbb{R}$，定义： $$T_a = \inf\{t \geq 0: B(t) = a\}$$

定理9.6 $$P(T_a \leq t) = 2(1 - \Phi(|a|/\sqrt{t}))$$

推论：$T_a < \infty$ a.s.，但 $E[T_a] = \infty$。

定理9.7（反正弦律） 设 $A(t) = \int_0^t 1_{\{B(s) > 0\}}ds$ 是 $[0, t]$ 中布朗运动为正的时间比例，则： $$P(A(t) \leq x) = \frac{2}{\pi}\arcsin\sqrt{\frac{x}{t}}, \quad 0 \leq x \leq t$$

定义9.4 $d$ 维标准布朗运动是 $B(t) = (B_1(t), \ldots, B_d(t))$，其中分量是独立的标准布朗运动。

性质：

• $E[B(t)] = \mathbf{0}$
• $Cov(B_i(s), B_j(t)) = \delta_{ij}\min(s, t)$
• 具有旋转不变性：对任意正交矩阵 $\mathbf{Q}$，$\{\mathbf{Q}B(t)\}$ 也是标准布朗运动

定义9.5（几何布朗运动） $$S(t) = S(0) \exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma B(t)\right)$$

应用：Black-Scholes期权定价模型中，股价被建模为几何布朗运动。

性质：

• $\log S(t)$ 服从正态分布
• $E[S(t)] = S(0)e^{\mu t}$
• 满足随机微分方程：$dS(t) = \mu S(t)dt + \sigma S(t)dB(t)$

定义9.6（布朗桥） $$W^0(t) = B(t) - tB(1), \quad 0 \leq t \leq 1$$

性质：

• $W^0(0) = W^0(1) = 0$
• 是高斯过程，$E[W^0(t)] = 0$，$Cov(W^0(s), W^0(t)) = s(1-t)$ 对 $s \leq t$

应用：统计中的Kolmogorov-Smirnov检验。

例题1 求 $P(B(1) > 0, B(2) > 0)$。

解：$(B(1), B(2))$ 服从二元正态，$Var(B(1)) = 1$，$Var(B(2)) = 2$，$Cov(B(1), B(2)) = 1$。

相关系数 $\rho = 1/\sqrt{2}$。

$$P(B(1) > 0, B(2) > 0) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi}\arcsin\rho = \frac{1}{4} + \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{3}{8}$$

例题2 证明 $\{B(t)^2 - t\}$ 是鞅。

解：对 $s < t$， $$\begin{aligned} E[B(t)^2 - t|\mathcal{F}_s] &= E[(B(s) + B(t) - B(s))^2 - t|\mathcal{F}_s]
&= B(s)^2 + 2B(s)E[B(t)-B(s)] + E[(B(t)-B(s))^2] - t
&= B(s)^2 + 0 + (t-s) - t = B(s)^2 - s \end{aligned}$$

习题9.1 证明布朗运动的有限维分布是多维正态分布。

习题9.2 计算 $E[B(s)B(t)^2]$ 和 $E[B(s)^2B(t)^2]$ 对 $s < t$。

习题9.3 证明 $\{B(t)^3 - 3tB(t)\}$ 是鞅。

习题9.4 设 $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} B(s)$，求 $E[M(t)]$ 和 $Var(M(t))$。

习题9.5 证明 $T_a$ 的Laplace变换：$E[e^{-\lambda T_a}] = e^{-|a|\sqrt{2\lambda}}$。

习题9.6 设 $B(t)$ 是布朗运动，证明 $X(t) = e^{-t}B(e^{2t})$ 是Ornstein-Uhlenbeck过程。

习题9.7 证明几何布朗运动的二次变差 $[\log S]_t = \sigma^2 t$。

习题9.8 利用反射原理求 $P(B(t) \in dx, M(t) \in dy)$ 的联合密度，$y > 0$，$x \leq y$。

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