鞅的收敛定理是鞅论中最深刻和最有用的结果之一。本章将介绍上穿不等式、Doob极大不等式、鞅的几乎必然收敛和 $L^p$ 收敛等重要定理，这些定理在概率论、统计学和金融学中有广泛应用。

定理8.1（Doob分解定理） 设 $\{X_n, \mathcal{F}_n\}$ 是下鞅，则存在唯一的分解： $$X_n = M_n + A_n$$ 其中：

• $\{M_n, \mathcal{F}_n\}$ 是鞅
• $\{A_n\}$ 是可料递增过程（$A_n$ 是 $\mathcal{F}_{n-1}$-可测，$A_0 = 0$，$A_{n+1} \geq A_n$）

证明：定义： $$A_0 = 0, \quad A_{n+1} = A_n + E[X_{n+1} - X_n|\mathcal{F}_n]$$ $$M_n = X_n - A_n$$

由 $X_n$ 是下鞅，$E[X_{n+1} - X_n|\mathcal{F}_n] \geq 0$，故 $A_{n+1} \geq A_n$。

验证 $M_n$ 是鞅： $$\begin{aligned} E[M_{n+1}|\mathcal{F}_n] &= E[X_{n+1} - A_{n+1}|\mathcal{F}_n]
&= E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] - A_{n+1}
&= E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n] - A_n - E[X_{n+1} - X_n|\mathcal{F}_n]
&= X_n - A_n = M_n \end{aligned}$$

唯一性：设有两个分解 $X_n = M_n + A_n = M_n' + A_n'$，则 $M_n - M_n' = A_n' - A_n$ 既是鞅又是可料过程，必为常数。由 $A_0 = A_0' = 0$，得唯一性。

推论8.1 适应可积序列 $\{X_n\}$ 是下鞅当且仅当它可以分解为鞅与可料递增过程之和。

设 $\{X_n\}$ 是随机序列，$a < b$。考虑序列穿越区间 $[a, b]$ 的行为：

定义8.1（上穿） 序列在时刻 $n$ 前上穿 $[a, b]$ 的次数 $U_n[a, b]$ 是满足以下条件的最大整数 $k$：存在 $0 \leq s_1 < t_1 < s_2 < t_2 < \cdots < s_k < t_k \leq n$ 使得： $$X_{s_i} \leq a, \quad X_{t_i} \geq b, \quad i = 1, \ldots, k$$

定理8.2（Doob上穿不等式） 设 $\{X_n\}$ 是下鞅，则： $$E[U_n[a, b]] \leq \frac{E[(X_n - a)^+]}{b - a} \leq \frac{E[|X_n|] + |a|}{b - a}$$

证明概要：构造可料过程 $$H_1 = 1_{\{X_0 \leq a\}}, \quad H_k = 1_{\{H_{k-1}=1, X_{k-1} < b\}} + 1_{\{H_{k-1}=0, X_{k-1} \leq a\}}$$

$H_k = 1$ 表示“当前持有”（处于下穿上穿周期中）。鞅变换 $(H \cdot X)_n$ 累积每次上穿的收益至少 $b-a$。

利用鞅变换的性质和下鞅性质，可得： $$(b - a)E[U_n[a, b]] \leq E[(X_n - a)^+]$$

定理8.3（Doob极大不等式） 设 $\{X_n\}$ 是非负下鞅，$\lambda > 0$，则： $$P(\max_{0 \leq k \leq n} X_k \geq \lambda) \leq \frac{E[X_n]}{\lambda}$$

证明：设 $\tau = \inf\{k \geq 0: X_k \geq \lambda\} \wedge n$。由可选停时定理： $$E[X_n] \geq E[X_\tau] \geq E[X_\tau 1_{\{\max X_k \geq \lambda\}}] \geq \lambda P(\max_{0 \leq k \leq n} X_k \geq \lambda)$$

定理8.4（Doob $L^p$ 不等式） 设 $\{X_n\}$ 是鞅或非负下鞅，$p > 1$，$X_n \in L^p$，则： $$E[\max_{0 \leq k \leq n} |X_k|^p] \leq \left(\frac{p}{p-1}\right)^p E[|X_n|^p]$$

推论：$\|\max_{0 \leq k \leq n} |X_k|\|_p \leq \frac{p}{p-1} \|X_n\|_p$

定理8.5（Doob鞅收敛定理） 设 $\{X_n\}$ 是下鞅且 $\sup_n E[X_n^+] < \infty$（或等价地，$\sup_n E[|X_n|] < \infty$），则存在可积随机变量 $X_\infty$ 使得： $$X_n \to X_\infty \quad \text{a.s.}$$

证明：利用上穿不等式。

假设 $P(\liminf X_n < \limsup X_n) > 0$，则存在有理数 $a < b$ 使得： $$P(\liminf X_n < a < b < \limsup X_n) > 0$$

这意味着上穿次数 $U_n[a, b] \to \infty$。但由上穿不等式： $$E[U_n[a, b]] \leq \frac{\sup_n E[X_n^+] + |a|}{b - a} < \infty$$ 矛盾！故极限存在。

由Fatou引理： $$E[|X_\infty|] \leq \liminf E[|X_n|] < \infty$$

定义8.2（一致可积） 随机变量族 $\{X_\alpha\}$ 称为一致可积，如果： $$\lim_{c \to \infty} \sup_\alpha E[|X_\alpha| 1_{\{|X_\alpha| > c\}}] = 0$$

定理8.6 下述等价：

• $\{X_n\}$ 一致可积
• $\sup_n E[|X_n|] < \infty$ 且 $\{X_n\}$ 是 $L^1$ 收敛的
• 存在可积 $X$ 使得 $X_n \to X$ a.s. 且 $E[|X_n|] \to E[|X|]$

定理8.7 鞅 $\{X_n\}$ 一致可积当且仅当存在可积 $X$ 使得 $X_n = E[X|\mathcal{F}_n]$。此时 $X_n \to E[X|\mathcal{F}_\infty]$ a.s. 且 $L^1$。

定义8.3（倒向鞅） 设 $\{\mathcal{F}_n\}$ 是递减的$\sigma$-代数序列，$\{X_n\}$ 适应于 $\{\mathcal{F}_n\}$ 且： $$E[X_n|\mathcal{F}_{n+1}] = X_{n+1}$$ 则称 $\{X_n\}$ 是倒向鞅。

定理8.8（Levy向下定理） 倒向鞅必一致可积，且 $X_n \to X_\infty$ a.s. 且 $L^1$。

应用：强大数定律的证明。

定理8.9 设 $\{X(t)\}$ 是右连续鞅，且 $\sup_t E[X(t)^+] < \infty$，则： $$X(t) \to X_\infty \quad \text{a.s.} \quad (t \to \infty)$$

定理8.10（Doob-Meyer分解） 设 $\{X(t)\}$ 是类(D)下鞅（一致可积），则存在唯一的分解： $$X(t) = M(t) + A(t)$$ 其中 $M(t)$ 是一致可积鞅，$A(t)$ 是可料递增过程。

定理8.11（Kolmogorov强大数定律） 设 $\{\xi_n\}$ 独立同分布，$E[|\xi_1|] < \infty$，则： $$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \xi_k \to E[\xi_1] \quad \text{a.s.}$$

证明（用鞅）：设 $S_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$，$\mathcal{F}_n = \sigma(S_n, S_{n+1}, \ldots) = \sigma(S_n, \xi_{n+1}, \xi_{n+2}, \ldots)$。

则 $\{S_n/n, \mathcal{F}_n\}$ 是倒向鞅： $$E\left[\frac{S_n}{n}|\mathcal{F}_{n+1}\right] = \frac{S_{n+1}}{n+1}$$

由倒向鞅收敛定理，结论成立。

例题1 设 $\{X_n\}$ 是鞅，$E[X_n^2] < \infty$。证明 $\{X_n^2\}$ 是下鞅，并求其Doob分解。

解：由Jensen不等式： $$E[X_{n+1}^2|\mathcal{F}_n] \geq (E[X_{n+1}|\mathcal{F}_n])^2 = X_n^2$$ 故是下鞅。

Doob分解：$M_n = X_n^2 - \sum_{k=1}^n E[(X_k - X_{k-1})^2|\mathcal{F}_{k-1}]$，$A_n = \sum_{k=1}^n E[(X_k - X_{k-1})^2|\mathcal{F}_{k-1}]$。

例题2 证明：若 $\{X_n\}$ 是上鞅且 $X_n \geq 0$，则 $X_n \to X_\infty$ a.s.。

解：$-X_n$ 是非正下鞅，$\sup E[(-X_n)^+] = 0 < \infty$，由Doob收敛定理得证。

习题8.1 求随机游动 $X_n = \sum_{k=1}^n \xi_k$（$E[\xi_k] = 0$，$Var(\xi_k) = \sigma^2$）的Doob分解。

习题8.2 证明：非负上鞅必几乎必然收敛。

习题8.3 设 $\{X_n\}$ 是鞅，$E[X_n^2] \leq C$。证明 $X_n$ 几乎必然且 $L^2$ 收敛。

习题8.4 证明Doob $L^p$ 不等式对 $p=2$ 的情形。

习题8.5 设 $\{X_n\}$ 是下鞅，$\sup E[|X_n|] < \infty$。证明 $X_n$ 可分解为鞅与一致可积过程之和。

习题8.6 设 $\tau$ 是停时，$\{X_n\}$ 是一致可积鞅。证明 $E[X_\tau] = E[X_0]$。

习题8.7 利用鞅收敛定理证明：若 $\sum_{n=1}^\infty Var(\xi_n)/n^2 < \infty$，则 $\sum_{k=1}^n (\xi_k - E[\xi_k])/n \to 0$ a.s.。

习题8.8 设 $\{X(t)\}$ 是连续鞅，$E[X(t)^2] \leq Ct$。证明 $X(t)/t \to 0$ a.s. 当 $t \to \infty$。

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