数理统计

数理统计学是一门研究如何有效地收集、整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策和行动提供依据和建议的数学学科。它是现代统计学的基础，在科学研究、工程技术、经济管理、医药卫生等领域有着广泛的应用。

通过本课程的学习，学生应当能够：

• 掌握数理统计的基本概念、基本理论和基本方法
• 理解统计推断的基本原理，包括参数估计和假设检验
• 熟练运用各种统计分布进行统计计算
• 掌握回归分析、方差分析、多元统计等高级统计方法
• 能够运用统计软件进行数据分析和统计建模
• 培养统计思维能力和解决实际问题的能力

• 数学分析（或高等数学）
• 线性代数
• 概率论

本课程共分为五大部分，十八章内容：

1. 第一章 统计量与抽样分布
   • 总体与样本
   • 统计量的概念
   • 充分统计量
   • 完备统计量
   • 指数族分布

1. 第二章 常用统计分布
   • 正态分布及其性质
   • 卡方分布（$\\chi^2$分布）
   • t分布
   • F分布
   • 抽样分布定理

1. 第三章 点估计
   • 矩估计法
   • 最大似然估计法
   • 估计量的无偏性
   • 估计量的有效性
   • 估计量的相合性
   • Cramér-Rao不等式

1. 第四章 区间估计
   • 置信区间的概念
   • 枢轴量法
   • 正态总体均值的区间估计
   • 正态总体方差的区间估计
   • 两个正态总体的区间估计
   • 大样本区间估计

1. 第五章 贝叶斯估计
   • 贝叶斯统计的基本思想
   • 先验分布的选取
   • 后验分布的计算
   • 贝叶斯估计量
   • 共轭先验分布
   • 层次贝叶斯模型

1. 第六章 假设检验的基本概念
   • 统计假设的概念
   • 显著性检验
   • 两类错误
   • 功效函数
   • p值
   • 最佳检验

1. 第七章 正态总体参数的假设检验
   • 单个正态总体均值的检验
   • 单个正态总体方差的检验
   • 两个正态总体均值差的检验
   • 两个正态总体方差比的检验
   • 成对数据的检验

1. 第八章 非参数检验
   • 拟合优度检验（$\\chi^2$检验）
   • Kolmogorov-Smirnov检验
   • 独立性检验（列联表分析）
   • 符号检验
   • Wilcoxon符号秩检验
   • Mann-Whitney U检验
   • Kruskal-Wallis检验

1. 第九章 似然比检验
   • 似然比检验的基本原理
   • Neyman-Pearson引理
   • 一致最优势（UMP）检验
   • 一致最优势无偏（UMPU）检验
   • 广义似然比检验

1. 第十章 线性回归分析
   • 回归分析的基本概念
   • 一元线性回归模型
   • 最小二乘法
   • 回归系数的估计
   • 回归方程的显著性检验
   • 预测与控制
   • 可线性化的非线性回归

1. 第十一章 多元回归分析
   • 多元线性回归模型
   • 最小二乘估计
   • 回归系数的显著性检验
   • 复相关系数与偏相关系数
   • 变量选择方法
   • 多重共线性问题
   • 回归诊断

1. 第十二章 方差分析
   • 方差分析的基本思想
   • 单因素方差分析
   • 双因素方差分析（无交互作用）
   • 双因素方差分析（有交互作用）
   • 多重比较方法

1. 第十三章 协方差分析
   • 协方差分析的基本概念
   • 单因素协方差分析
   • 双因素协方差分析
   • 正交设计的基本原理
   • 正交表的构造与应用

1. 第十四章 主成分分析
   • 降维的基本思想
   • 主成分的定义与计算
   • 特征值分解
   • 主成分的选取
   • 主成分分析的应用

1. 第十五章 因子分析
   • 因子模型的基本概念
   • 因子载荷矩阵的估计
   • 因子旋转
   • 因子得分
   • 因子分析与主成分分析的比较

1. 第十六章 判别分析
   • 判别分析的基本概念
   • 距离判别法
   • Fisher判别法
   • Bayes判别法
   • 逐步判别分析

1. 第十七章 聚类分析
   • 聚类分析的基本概念
   • 相似性度量
   • 系统聚类法
   • K均值聚类法
   • 层次聚类法
   • 聚类效果的评价

1. 第十八章 生存分析
   • 生存数据的特点
   • 生存函数与风险函数
   • Kaplan-Meier估计
   • 生存曲线的比较
   • Cox比例风险模型
   • 生存分析的应用

• 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 《概率论与数理统计教程》. 高等教育出版社.
• 陈希孺. 《数理统计学教程》. 上海科学技术出版社.
• 何书元. 《数理统计》. 高等教育出版社.
• Casella, G. and Berger, R.L. 《Statistical Inference》. 2nd Edition. Duxbury Press.
• Rice, J.A. 《Mathematical Statistics and Data Analysis》. 3rd Edition. Duxbury Press.

• 注重概念理解：数理统计建立在严格的数学基础之上，要深入理解每个概念的数学含义。
• 多做习题：通过大量练习掌握各种统计方法的计算步骤和应用条件。
• 结合实际：尝试将所学方法应用到实际数据分析中，培养统计建模能力。
• 使用软件：学习使用R、Python、SPSS、SAS等统计软件进行数据分析。
• 阅读文献：阅读统计学经典文献，了解统计方法的发展和应用。

• 平时作业（20%）：每章课后习题
• 期中考试（20%）：基础理论部分
• 期末项目（20%）：数据分析实践
• 期末考试（40%）：综合理论和方法

• 概率论基础
• 数学分析工具
• 矩阵运算基础

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本课程内容由OpenClaw自动生成，仅供学习参考