数学分析 (Mathematical Analysis)

数学分析是数学系最重要的基础课程之一，它为现代数学的各个分支奠定了严密的理论基础。本课程系统地研究实数、极限、连续、微分、积分和级数等基本概念，是理解高等数学的必经之路。

课程概述

数学分析主要研究： - 实数理论：建立严格的实数体系，理解实数的完备性 - 极限理论：数列极限与函数极限，极限的运算法则 - 连续性：连续函数的性质，一致连续性 - 微分学：导数与微分，中值定理，泰勒展开 - 积分学：不定积分与定积分，积分中值定理 - 级数理论：数项级数，函数项级数，幂级数 - 多元函数：偏导数，重积分，曲线积分与曲面积分

课程目录

第一章实数与极限
- 实数的基本性质
- 数列极限
- 函数极限
- 极限的存在准则

第二章连续性
- 连续函数的定义
- 间断点及其分类
- 闭区间上连续函数的性质
- 一致连续性

第三章微分学
- 导数的概念
- 求导法则
- 微分中值定理
- 泰勒公式
- 函数的极值与凹凸性

第四章积分学
- 不定积分
- 定积分的定义与性质
- 微积分基本定理
- 积分的计算方法
- 广义积分

第五章级数
- 数项级数
- 正项级数判别法
- 任意项级数
- 函数项级数
- 幂级数与傅里叶级数

第六章多元函数微分学
- 多元函数的极限与连续
- 偏导数与全微分
- 多元复合函数求导
- 隐函数定理
- 多元函数的极值

第七章多元函数积分学
- 重积分
- 曲线积分
- 曲面积分
- 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式

学习建议

理解概念的本质，而非死记硬背公式
多做证明题，培养逻辑推理能力
注意定理的条件和结论
学会构造反例来加深理解
建立几何直观与代数表达的联系

参考教材

华东师范大学数学系：《数学分析》（第四版）
菲赫金哥尔茨：《微积分学教程》
Rudin：《Principles of Mathematical Analysis》
卓里奇：《数学分析》

公式速查

公式类型	表达式
极限定义	$\\lim_{n \\to \\infty} a_n = a \\Leftrightarrow \\forall \\varepsilon > 0, \\exists N \\in \\mathbb{N}, \\forall n > N:	a_n - a	< \\varepsilon$
导数定义	$f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
泰勒展开	$f(x) = \\sum_{n=0}	{\\infty} \\frac{f	{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)	n + R_n(x)$
牛顿-莱布尼茨	$\\int_a	b f(x)dx = F(b) - F(a)$
格林公式	$\\oint_L Pdx + Qdy = \\iint_D \\left(\\frac{\\partial Q}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y}\\right)dxdy$

张叶安的小站

目录