常微分方程

常微分方程是研究含有一个自变量的微分方程的学科，是数学各专业的重要基础课程，在物理、工程、生物、经济等领域有广泛应用。

课程概述

常微分方程的主要研究内容包括： - 初等积分法：可分离变量、齐次方程、线性方程、恰当方程 - 解的存在唯一性：Picard迭代法、逐次逼近、Lipschitz条件 - 高阶线性方程：常系数、变系数、幂级数解法 - 线性微分方程组：矩阵方法、基本解矩阵、指数矩阵 - 定性理论与稳定性：平衡点、稳定性、极限环、分支 - 边值问题：Sturm-Liouville理论、特征值问题

课程目录

基础理论

第一章微分方程的基本概念 - 定义、阶、解、初值问题
第二章一阶微分方程 - 可分离变量、齐次方程、线性方程、恰当方程
第三章一阶微分方程的解的存在唯一性 - Picard迭代、Lipschitz条件

高阶方程

第四章高阶微分方程 - 降阶法、高阶线性方程
第五章常系数线性微分方程 - 特征方程、特解求法、常数变易法
第六章变系数线性微分方程 - Euler方程、幂级数解法

线性方程组

第七章线性微分方程组 - 矩阵表示、基本解矩阵
第八章常系数线性微分方程组 - 特征值方法、指数矩阵

定性理论与稳定性

第九章自治系统与相平面分析 - 平衡点、稳定性、相图
第十章 Lyapunov稳定性理论 - Lyapunov函数、稳定性判据
第十一章极限环与分支 - Poincaré-Bendixson定理、Hopf分支

边值问题与特殊函数

第十二章 Sturm-Liouville边值问题 - 特征值、正交性、展开定理
第十三章特殊函数 - Gamma函数、Bessel函数、Legendre函数

应用与数值方法

第十四章微分方程的应用 - 物理、生物、经济模型
第十五章数值解法 - Euler法、Runge-Kutta法、稳定性

参考教材

- 王高雄等.《常微分方程》(第3版). 高等教育出版社 - 丁同仁、李承治.《常微分方程教程》. 高等教育出版社 - Coddington, E.A. & Levinson, N.《Theory of Ordinary Differential Equations》

<html> <script type=“text/javascript” async

src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-mml-chtml.js">

</script> </html>