微分几何

微分几何是运用微积分和线性代数研究曲线、曲面和流形的几何性质的数学分支，在广义相对论、计算机图形学等领域有重要应用。

课程概述

微分几何的主要研究内容包括： - 曲线论：曲率、挠率、Frenet标架、曲线论基本定理 - 曲面论：第一基本形式、第二基本形式、Gauss曲率、测地线 - 内蕴几何：Gauss-Bonnet定理、完备性 - Riemann几何：度量、联络、曲率张量、Einstein流形

课程目录

曲线论

第一章曲线的局部理论 - 参数曲线、弧长参数、切向量
第二章曲线的曲率与挠率 - Frenet标架、曲率、挠率、Frenet公式
第三章曲线论基本定理 - 存在唯一性定理、自然方程
第四章特殊曲线 - 平面曲线、球面曲线、螺线

曲面的局部理论

第五章曲面的第一基本形式 - 曲面的参数表示、第一基本形式、弧长、面积
第六章曲面的第二基本形式 - 法曲率、主曲率、Gauss曲率、平均曲率
第七章曲面的结构方程 - Gauss方程、Codazzi方程、相容性条件
第八章曲面论基本定理 - 曲面论基本定理、存在唯一性
第九章曲面上的特殊曲线 - 测地线、渐近曲线、曲率线

曲面的内蕴几何

第十章曲面的内蕴几何 - 等距变换、可展曲面
第十一章 Gauss-Bonnet定理 - 测地曲率、Gauss-Bonnet公式、Euler示性数
第十二章曲面的完备性 - 指数映射、完备曲面、Hopf-Rinow定理

张量分析与Riemann几何

第十三章张量代数 - 张量、缩并、张量积、对称与反对称
第十四章微分流形 - 微分流形、切空间、切丛、向量场
第十五章 Riemann度量 - Riemann度量、Levi-Civita联络、测地线
第十六章曲率张量 - Riemann曲率张量、Ricci张量、数量曲率
第十七章 Sectional曲率 - 截面曲率、常曲率空间、空间形式
第十八章 Einstein流形 - Einstein方程、Einstein流形、Yamabe问题

复几何与李群

第十九章 Kähler几何 - 近复结构、Kähler形式、Kähler流形
第二十章李群与李代数 - 李群、李代数、伴随表示、齐性空间

参考教材

- 梅向明、黄敬之.《微分几何》(第4版). 高等教育出版社 - 陈省身、陈维桓.《微分几何讲义》. 北京大学出版社 - do Carmo, M.P.《Differential Geometry of Curves and Surfaces》 - 伍鸿熙、沈纯理、虞言林.《黎曼几何初步》

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