数值分析

数值分析（计算方法）是研究用计算机求解数学问题的数值方法的学科，是科学计算的基础。

课程概述

数值分析的主要研究内容包括： - 插值与逼近：Lagrange插值、样条插值、最佳逼近、最小二乘 - 数值微积分：数值积分、数值微分、外推法 - 线性方程组求解：直接法、迭代法、共轭梯度法 - 非线性方程求解：Newton法、拟Newton法、迭代法 - 矩阵特征值计算：幂法、QR方法 - 微分方程数值解：Euler法、Runge-Kutta法、稳定性分析

课程目录

插值与逼近

第一章插值法 - Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值
第二章样条插值 - 三次样条、B样条、样条逼近
第三章最佳逼近 - 范数、最佳一致逼近、最佳平方逼近
第四章正交多项式 - Legendre多项式、Chebyshev多项式、正交展开
第五章曲线拟合的最小二乘法 - 线性拟合、多项式拟合、非线性拟合

数值微积分

第六章数值积分 - Newton-Cotes公式、复化求积、Romberg积分、Gauss求积
第七章数值微分 - 差分公式、外推法、Richardson外推

线性方程组数值解

第八章直接法 - Gauss消去、LU分解、Cholesky分解、追赶法
第九章迭代法 - Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代、SOR迭代、收敛性
第十章共轭梯度法 - 最速下降法、共轭梯度法、预处理

非线性方程与矩阵特征值

第十一章非线性方程求解 - 二分法、Newton法、割线法、迭代法
第十二章非线性方程组 - Newton迭代法、拟Newton法
第十三章矩阵特征值计算 - 幂法、反幂法、QR方法

常微分方程数值解

第十四章 Euler方法 - 显式Euler、隐式Euler、梯形法
第十五章 Runge-Kutta方法 - 二阶、四阶RK方法、稳定性分析
第十六章线性多步法 - Adams方法、稳定性、收敛性

参考教材

- 李庆扬等.《数值分析》(第5版). 清华大学出版社 - 关治、陆金甫.《数值分析基础》. 高等教育出版社 - Burden, R.L. & Faires, J.D.《Numerical Analysis》

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