复变函数

复变函数是研究复数域上函数的理论，是数学分析在复数域的推广，在流体力学、电磁学、信号处理等领域有重要应用。

课程概述

复变函数的主要研究内容包括： - 解析函数：可导性、Cauchy-Riemann条件、初等函数 - 复积分：Cauchy定理、Cauchy公式、 Laurent级数 - 留数理论：留数计算、留数定理、围道积分 - 保角映射：解析函数的映射性质、分式线性变换、应用 - 整函数与亚纯函数：无穷乘积、部分分式展开 - 调和函数：Dirichlet问题、Poisson积分

课程目录

基础理论

第一章复数与复平面 - 复数运算、复平面、球极投影、扩充复平面
第二章复变函数 - 复变函数的极限、连续性、可导性、解析函数
第三章初等解析函数 - 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数
第四章复变函数的积分 - 复积分、原函数、Cauchy定理、Cauchy公式

级数理论

第五章复数项级数 - 收敛性、绝对收敛、一致收敛
第六章幂级数 - 收敛半径、解析性、Taylor展开
第七章 Laurent级数 - 双边幂级数、Laurent展开、孤立奇点分类

留数理论

第八章留数 - 留数的计算、留数定理、实积分计算
第九章辐角原理与Rouché定理 - 辐角原理、Rouché定理、零点分布

保角映射

第十章保角映射的基本概念 - 解析函数的映射性质、保角性
第十一章分式线性变换 - 分式线性变换的性质、圆周像
第十二章初等函数的映射 - 幂函数、指数函数、对数函数的映射
第十三章保角映射的应用 - 边值问题、流体力学应用

调和函数与Dirichlet问题

第十四章调和函数 - 调和函数与解析函数的关系、平均值性质
第十五章 Dirichlet问题 - 圆盘上的Dirichlet问题、Poisson积分

整函数与亚纯函数

第十六章整函数 - 无穷乘积、Weierstrass分解、Hadamard定理
第十七章亚纯函数 - 部分分式展开、Mittag-Leffler定理

Riemann曲面

第十八章 Riemann曲面简介 - 多值函数、Riemann曲面概念

参考教材

- 钟玉泉.《复变函数论》(第4版). 高等教育出版社 - 余家荣.《复变函数》. 高等教育出版社 - Ahlfors, L.V.《Complex Analysis》

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