随机过程

随机过程是研究随机现象随时间演变的数学分支，是概率论的延伸，在金融、通信、生物、物理等领域有广泛应用。

课程概述

随机过程的主要研究内容包括： - 泊松过程：计数过程、到达时间、复合泊松过程 - 马尔可夫链：转移概率、遍历性、平稳分布 - 鞅论：条件期望、鞅收敛定理、停时 - 布朗运动：随机游走、维纳过程、Ito积分 - 随机微分方程：Ito公式、SDE求解、金融应用 - 平稳过程：宽平稳、谱分解、时间序列

课程目录

基础理论

第一章随机过程的基本概念 - 定义、有限维分布、数字特征、分类
第二章泊松过程 - 定义与性质、到达时间间隔、等待时间、复合泊松过程
第三章更新过程 - 更新函数、更新方程、极限定理

马尔可夫过程

第四章离散时间马尔可夫链 - 转移概率、Chapman-Kolmogorov方程、遍历性
第五章状态的分类与极限分布 - 常返与非常返、周期、平稳分布
第六章连续时间马尔可夫链 - 转移速率、Kolmogorov方程、生灭过程

鞅论

第七章条件期望与鞅 - 条件期望、鞅的定义、停时
第八章鞅的收敛定理 - Doob分解、上穿不等式、鞅收敛

布朗运动与随机积分

第九章布朗运动 - 定义与性质、二次变差、最大值分布
第十章随机积分 - Ito积分、Ito公式、随机微分方程
第十一章随机微分方程 - 存在唯一性、强解与弱解、线性SDE

平稳过程与时间序列

第十二章平稳过程 - 宽平稳、谱分解、遍历性
第十三章时间序列分析 - ARMA模型、预测、估计

应用

第十四章随机过程在金融中的应用 - Black-Scholes模型、期权定价
第十五章随机过程在工程中的应用 - 排队论、可靠性、信号处理

参考教材

- 何书元.《随机过程》. 北京大学出版社 - 林元烈.《应用随机过程》. 清华大学出版社 - Ross, S.M.《Stochastic Processes》

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