拓扑学
拓扑学
拓扑学是研究空间在连续变形下保持不变的性质的数学分支，分为点集拓扑、代数拓扑和微分拓扑等，是现代数学的核心领域之一。
课程概述
拓扑学的主要研究内容包括： - 点集拓扑：拓扑空间、连续性、连通性、紧致性 - 代数拓扑：基本群、同调群、同伦论 - 同调论：单纯同调、奇异同调、上同调 - 流形理论：拓扑流形、微分形式、de Rham上同调
课程目录
点集拓扑
- 第一章 拓扑空间 - 拓扑的定义、开集、闭集、邻域、基
- 第二章 连续映射与同胚 - 连续映射、同胚、拓扑不变量
- 第三章 连通性 - 连通空间、道路连通、分支、局部连通
- 第四章 紧致性 - 紧致空间、列紧性、可数紧致、局部紧致
- 第五章 分离公理 - T0到T4空间、正规空间、Urysohn引理
- 第六章 可数性公理 - 第一可数、第二可数、可分、Lindelöf
- 第七章 乘积空间与商空间 - 乘积拓扑、商拓扑、粘合空间
- 第八章 度量空间 - 度量诱导的拓扑、完备化、Baire纲定理
代数拓扑基础
- 第九章 同伦 - 同伦映射、形变收缩、同伦等价
- 第十章 基本群 - 道路类、回路、基本群、计算方法
- 第十一章 覆盖空间 - 覆盖映射、提升性质、覆盖空间分类
- 第十二章 van Kampen定理 - 空间的基本群计算
同调论
- 第十三章 单纯复形 - 单纯形、单纯复形、三角剖分
- 第十四章 单纯同调 - 链复形、边缘算子、同调群
- 第十五章 奇异同调 - 奇异单形、链复形、同调群
- 第十六章 同调群的性质 - 正合序列、切除定理、Mayer-Vietoris序列
- 第十七章 上同调 - 上链复形、上同调群、cup积
流形与高级主题
- 第十八章 拓扑流形 - 流形定义、图册、可定向性
- 第十九章 微分形式 - 切丛、余切丛、外微分、de Rham上同调
- 第二十章 指标定理简介 - Euler示性数、Hirzebruch符号差定理
参考教材
- 尤承业.《基础拓扑学讲义》. 北京大学出版社 - 姜伯驹.《同调论》. 北京大学出版社 - Munkres, J.R.《Topology》 - Hatcher, A.《Algebraic Topology》
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